Wykazać że ciągła surjekcja ma punkt stały,w przedziale.

[Unforg1ven]

Nie wiem jak w tym zadaniu sformułować formalny dowód:
Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ f:[a,b[
ightarrow [a,b[}\) jest ciągłą surjekcją to ma punkt stały. Wskazówka własność Darboux dla funkcji ciągłych.

[Dasio11]

Jeśli \(\displaystyle{ f(a) = a}\), to ok.

W przeciwnym razie \(\displaystyle{ f(a) > a}\), ale z surjektywności istnieje \(\displaystyle{ c in [a, b)}\), takie że \(\displaystyle{ f(c) = a}\), czyli \(\displaystyle{ f(c) < c}\). Spróbuj wywnioskować z własności Darboux, że \(\displaystyle{ f(x) = x}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x \in (a, c)}\).

[Unforg1ven]

Jeśli \(\displaystyle{ f(a) = a}\), to ok.

W przeciwnym razie \(\displaystyle{ f(a) > a}\), ale z surjektywności istnieje \(\displaystyle{ c in [a, b)}\), takie że \(\displaystyle{ f(c) = a}\), czyli \(\displaystyle{ f(c) < c}\). Spróbuj wywnioskować z własności Darboux, że \(\displaystyle{ f(x) = x}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x \in (a, c)}\).

Zatem z własności Darboux \(\displaystyle{ f}\), przyjmuje wartości \(\displaystyle{ ]f(c),f(a)[}\), na przedziale \(\displaystyle{ ]a,c[}\),
zatem ponieważ \(\displaystyle{ a<c}\) i \(\displaystyle{ f(c)<f(a)}\),\(\displaystyle{ f}\) jest malejące, na tymże przedziale.
I dalej bez machania rękami nie potrawie tego pociągnąć.

[szw1710]

Jakie własności ma funkcja \(\displaystyle{ g(x)=f(x)-x}\) (wobec tego, co napisał Dasio11)?

[Unforg1ven]

Jakie własności ma funkcja \(\displaystyle{ g(x)=f(x)-x}\) (wobec tego, co napisał Dasio11)?

Gdyby istniał taki punkt \(\displaystyle{ x}\), taki że \(\displaystyle{ f(x)=x}\) w \(\displaystyle{ xin]a,c[}\) to w \(\displaystyle{ g(x)=f(x)-x; x}\)byłby miejscem zerowym,a \(\displaystyle{ g}\) byłoby suriekcją i funkcją ciągłą i malejącą.

Zdefiniujmy sobie właśnie w ten sposób \(\displaystyle{ g}\),pokażemy w ten sposób że \(\displaystyle{ xin]a,c[}\)

Zatem zauważmy że \(\displaystyle{ g(a)-g(x)>0}\) ponieważ \(\displaystyle{ f(a)>f(x)}\) analogiczne \(\displaystyle{ g(x)-g(c)<0}\), ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest malejąca i ciągła, musi istnieć taki, że \(\displaystyle{ g(x)=0; x in ]a,c[}\), zatem musi istnieć \(\displaystyle{ f(x)=x; xin ]a,c[}\) q.e.d.
Czy dobrze rozumuję?

[Dasio11]

Gdyby istniał taki punkt \(\displaystyle{ x}\), taki że \(\displaystyle{ f(x)=x}\) w \(\displaystyle{ xin]a,c[}\) to w \(\displaystyle{ g(x)=f(x)-x; x}\)byłby miejscem zerowym,a \(\displaystyle{ g}\) byłoby suriekcją i funkcją ciągłą i malejącą.

Źle. Bez podania przeciwdziedziny funkcji \(\displaystyle{ g}\) bez sensu jest mówić o jej surjektywności. Nie ma też powodu, żeby ta funkcja była malejąca.

Zdefiniujmy sobie właśnie w ten sposób \(\displaystyle{ g}\),pokażemy w ten sposób że \(\displaystyle{ xin]a,c[}\)

Nie możemy pokazać w ten sposób, że \(\displaystyle{ xin]a,c[}\), ani żadnej innej własności \(\displaystyle{ x}\), bo \(\displaystyle{ x}\)-a na razie nie ma. Nie został zdefiniowany.

Zatem zauważmy że \(\displaystyle{ g(a)-g(x)>0}\) ponieważ \(\displaystyle{ f(a)>f(x)}\) analogiczne \(\displaystyle{ g(x)-g(c)<0}\), ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest malejąca i ciągła, musi istnieć taki, że \(\displaystyle{ g(x)=0; x in ]a,c[}\), zatem musi istnieć \(\displaystyle{ f(x)=x; xin ]a,c[}\) q.e.d.
Czy dobrze rozumuję?

Znów: \(\displaystyle{ f}\) nie musi być malejąca a \(\displaystyle{ x}\) nie został zdefiniowany, więc powyższe rozumowanie nie ma sensu.

[Unforg1ven]

Dobrze zatem, mógłbyś pokazać prawidłowy tok rozumowania do końca?

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \bullet}\) Co z własności \(\displaystyle{ f(a) > a}\), \(\displaystyle{ f(c) < c}\) wynika o \(\displaystyle{ g(a)}\) i \(\displaystyle{ g(c)}\)?

\(\displaystyle{ \bullet}\) Co z ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f}\) wynika o ciągłości funkcji \(\displaystyle{ g}\)?

[Unforg1ven]

\(\displaystyle{ \bullet}\) Co z własności \(\displaystyle{ f(a) > a}\), \(\displaystyle{ f(c) < c}\) wynika o \(\displaystyle{ g(a)}\) i \(\displaystyle{ g(c)}\)?

\(\displaystyle{ \bullet}\) Co z ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f}\) wynika o ciągłości funkcji \(\displaystyle{ g}\)?

\(\displaystyle{ g}\) jest ciągła jako dodanie dwóch funkcji ciągłych.

\(\displaystyle{ g(a)>a-x<0 \wedge g(c)<c-x>0}\) I tu nie wiem jak to dalej pociągnąć, gdyż nie ma tu przechodniości.

[Dasio11]

\(\displaystyle{ g}\) jest ciągła jako dodanie dwóch funkcji ciągłych.

Dobrze.


Funkcja \(\displaystyle{ g : [a, c] \to \RR}\) jest zadana wzorem \(\displaystyle{ g(x) = f(x) - x}\), co oznacza, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in [a, c]}\) wartość \(\displaystyle{ g(x)}\) jest zdefiniowana jako \(\displaystyle{ f(x) - x}\). Nie ma tu żadnego konkretnego \(\displaystyle{ x}\) - to jest przepis ogólny, a \(\displaystyle{ x}\) jest tylko zmienną. Oznaczenie \(\displaystyle{ x}\) ma zasięg lokalny, ograniczony do wzoru na funkcję \(\displaystyle{ g}\).

Natomiast u Ciebie:

\(\displaystyle{ g(a)>a-x<0 \wedge g(c)<c-x>0}\) I tu nie wiem jak to dalej pociągnąć, gdyż nie ma tu przechodniości.

wygląda, jakbyś używał \(\displaystyle{ x}\) jako oznaczenia jakiejś ustalonej wcześniej liczby, czego nie możesz zrobić, bo takiej liczby nie ustaliłeś.

Zastosowanie ogólnego wzoru \(\displaystyle{ g(x) = f(x) - x}\) dla szczególnych liczb \(\displaystyle{ x = a}\) oraz \(\displaystyle{ x = c}\) daje \(\displaystyle{ g(a) = f(a) - a}\) i \(\displaystyle{ g(c) = f(c) - c}\), i na przykład \(\displaystyle{ g(7) = f(7) - 7}\) jeśli przypadkiem \(\displaystyle{ 7 \in [a, c]}\).

[Unforg1ven]

Już rozumiem.
Zatem skoro \(\displaystyle{ g}\) jest ciągła to \(\displaystyle{ g(a)=f(a)-a>0 \wedge g(c)=f(c)-c<0}\) zatem z własności darboux dla pewnego \(\displaystyle{ xin ]a,c[ ,g(x)=0 Rightarrow f(x)=x}\) co kończy dowód.

[Dasio11]

Super.