Matematyka.pl

Mam takie zadanie, sprawdzić że wzór \(\displaystyle{ d(x,y)=\min{\left| x-y \right|, 1-\left| \left| x\right| - \left| y\right| \right|}\), określa metrykę na zbiorze \(\displaystyle{ M=]-1,1[ subset mathbb{R}}\). Obliczyć średnicę tej przesztrzeni metrycznej, tzn. liczbę \(\displaystyle{ \sup\{d(x,y) : x,y \in M \}}\).
O ile ze sprawdzeniem aksjomatów nie mam problemów,o tyle na druga nie mam pomysłu, tak żeby nie wpakować w rachunek różniczkowych kilku zmiennych.

Zauważmy, że w rozważanym przedziale (a nawet nie tylko) zachodzi
\(\displaystyle{ 1-||x|-|y||\le 1}\) i równość zajdzie zawsze gdy \(\displaystyle{ |x|=|y|}\). To teraz widzimy, że
\(\displaystyle{ \min\left\{ |x-y|, 1-||x|-|y||\right\}}\) będzie największe, gdy \(\displaystyle{ |x-y|\ge 1}\) i \(\displaystyle{ |x|=|y|}\). Odpowiedź: \(\displaystyle{ \sup\{d(x,y) : x,y \in M \}=1}\).