Obliczyć średnicę przestrzeni metrycznej.

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 305
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 103 razy
Pomógł: 5 razy

Obliczyć średnicę przestrzeni metrycznej.

Post autor: Unforg1ven » 1 gru 2018, o 15:04

Mam takie zadanie, sprawdzić że wzór \(\displaystyle{ d(x,y)=\min{\left| x-y \right|, 1-\left| \left| x\right| - \left| y\right| \right|}\), określa metrykę na zbiorze \(\displaystyle{ M=]-1,1[ subset mathbb{R}}\). Obliczyć średnicę tej przesztrzeni metrycznej, tzn. liczbę \(\displaystyle{ \sup\{d(x,y) : x,y \in M \}}\).
O ile ze sprawdzeniem aksjomatów nie mam problemów,o tyle na druga nie mam pomysłu, tak żeby nie wpakować w rachunek różniczkowych kilku zmiennych.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14277
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 4691 razy

Re: Obliczyć średnicę przestrzeni metrycznej.

Post autor: Premislav » 1 gru 2018, o 15:19

Zauważmy, że w rozważanym przedziale (a nawet nie tylko) zachodzi
\(\displaystyle{ 1-||x|-|y||\le 1}\) i równość zajdzie zawsze gdy \(\displaystyle{ |x|=|y|}\). To teraz widzimy, że
\(\displaystyle{ \min\left\{ |x-y|, 1-||x|-|y||\right\}}\) będzie największe, gdy \(\displaystyle{ |x-y|\ge 1}\) i \(\displaystyle{ |x|=|y|}\). Odpowiedź: \(\displaystyle{ \sup\{d(x,y) : x,y \in M \}=1}\).

ODPOWIEDZ