Matematyka.pl

Nie rozumiem dwóch rzeczy w rozwiązaniu następującego zadania.
Niech \(\displaystyle{ (X,d)}\) przestrzeń metryczna. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ O \cap \cl (A) \subset \cl (O \cap A)}\), dla każdego \(\displaystyle{ A \subset X}\) , to \(\displaystyle{ O}\) jest zbiorem otwartym.
Mam następujące rozwiązanie:
Niech \(\displaystyle{ A=X \setminus O}\) .
Oznaczmy zbiór \(\displaystyle{ \partial O= O \setminus \Int O}\) tzn. \(\displaystyle{ O}\) jest otwarty \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \partial O = \emptyset}\). Jeśli \(\displaystyle{ A=X \setminus O}\), to \(\displaystyle{ O \cap A = \emptyset}\), oraz \(\displaystyle{ \cl (O \cap A) =\emptyset}\)
Skoro zachodzi warunek \(\displaystyle{ O \cap \cl(A) \subset \cl(O \cap A)}\) ,to musi być \(\displaystyle{ O \cap \cl(A)=\emptyset}\)
Z drugiej strony \(\displaystyle{ \partial O \subset \cl(A)}\) (1) i \(\displaystyle{ \partial O \subset O}\). Zatem musi być \(\displaystyle{ \partial O =\emptyset}\), w takim przypadku \(\displaystyle{ O}\), jest otwarty. q.e.d.
Pytania są następujące:
Skąd wiemy, że (1) zachodzi?
W jaki sposób rozważając dopełnienie zbioru \(\displaystyle{ O}\) udowadniamy tą zależność dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A}\).

Wykazać, że jeśli\(\displaystyle{ O \cap \cl (A) \subset \cl O (\cap
A)}\), to dla każdego \(\displaystyle{ A}\) , \(\displaystyle{ O}\) jest zbiorem otwartym.

W jaki sposób rozważając dopełnienie zbioru \(\displaystyle{ O}\) udowadniamy tą zależność dla każdego zbioru takiego zbioru \(\displaystyle{ A}\).

Naucz się poprawnie formułować myśli, to pogadamy, ponieważ w tym przypadku robi to dużą różnicę. Może ktoś ma ochotę domyślać się, co poeta miał na myśli, ja nie za bardzo.
Na początek proponuję przepisać słowo w słowo polecenia, nie zmieniając składni zdania, kolejnosci wyrazów, w ogóle niczego (to umożliwi, być może, komunikację w tym konkretnym przypadku), a w sensie ogólniejszym warto przejrzeć sformułowania twierdzeń i dowody w książkach/skryptach.

Premislav pisze:

Wykazać, że jeśli\(\displaystyle{ O \cap \cl (A) \subset \cl O (\cap
A)}\), to dla każdego \(\displaystyle{ A}\) , \(\displaystyle{ O}\) jest zbiorem otwartym.

W jaki sposób rozważając dopełnienie zbioru \(\displaystyle{ O}\) udowadniamy tą zależność dla każdego zbioru takiego zbioru \(\displaystyle{ A}\).

Naucz się poprawnie formułować myśli, to pogadamy, ponieważ w tym przypadku robi to dużą różnicę. Może ktoś ma ochotę domyślać się, co poeta miał na myśli, ja nie za bardzo.
Na początek proponuję przepisać słowo w słowo polecenia, nie zmieniając szyku zdań, a w sensie ogólniejszym warto przejrzeć sformułowania twierdzeń i dowody w książkach/skryptach.

Źle napisałem powinno być \(\displaystyle{ A \subset X}\), to \(\displaystyle{ O}\) jest zbiorem otwartym, a reszta jest bez zmian.
A pytanie mam takie, jak rozważając jeden wybrany zbiór udowadniamy, że dla każdego zbioru tak zachodzi.

Tak naprawdę jak to czytam, to robi się coraz gorzej.

Oznaczmy zbiór \(\displaystyle{ \partial O= X \setminus O}\)

To jest bardzo niedobre oznaczenie, ponieważ \(\displaystyle{ \partial O}\) zazwyczaj oznacza brzeg zbioru \(\displaystyle{ O}\) (różnicę mnogościową jego domknięcia i wnętrza). Oczywiście, każdy może sobie cokolwiek oznaczać, jak mu się podoba, o ile te oznaczenia opisze (jak tutaj), ale nie polecam np. w zadaniu z topologii oznaczać przez \(\displaystyle{ \cl A}\) wnętrza zbioru \(\displaystyle{ A}\), zaś przez \(\displaystyle{ \Int A}\) domknięcia zbioru \(\displaystyle{ A}\), chyba z wiadomych przyczyn.

Oznaczmy zbiór \(\displaystyle{ \partial O= X \setminus O}\) tzn. \(\displaystyle{ O}\) jest otwarty \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \partial O = \emptyset}\)

(pogrubienie moje)
Co to za głupoty? Mógłbym spytać, skąd masz to rozwiązanie?

O jezu znowu źle napisałem.
Przepraszam, powinno być
\(\displaystyle{ \partial O= O \setminus \Int O}\)
Mea culpa.

No ja nie wiem, równoważność
\(\displaystyle{ O}\) jest otwarty \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \partial O=\emptyset}\) wskazuje raczej na to, że
\(\displaystyle{ \partial O={\red O}\setminus \Int O}\)
czy też coś w tym stylu…

Premislav pisze:No ja nie wiem, równoważność
\(\displaystyle{ O}\) jest otwarty \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \partial O=\emptyset}\) wskazuje raczej na to, że
\(\displaystyle{ \partial O={\red O}\setminus \Int O}\)
czy też coś w tym stylu…

Tak oczywiście, już to poprawiłem.