Matematyka.pl

Dwa ciągłe odwzorowania między przestrzeniami \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) na pewno są homotopijne jeżeli:
a) \(\displaystyle{ X=Y}\)
b) \(\displaystyle{ X=\left[ 0,1\right] , Y=\RR}\)
c) \(\displaystyle{ Y}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ X}\)
d) \(\displaystyle{ X}\) jest wypukłym zbiorem \(\displaystyle{ \RR ^{2}}\)

Moim zdaniem poprawna odpowiedź to tylko b)

Ok przydaloby sie znalezc kontrprzyklady do pozostalych punktow

Dla a)
\(\displaystyle{ z \in X = S^1}\) przy dowodzie nieściągalności \(\displaystyle{ S^1}\) wykorzystuje się fakt, że jeśli m,n są liczbami całkowitymi różnymi i przekształcenia \(\displaystyle{ z^n}\) i \(\displaystyle{ z^m}\) z \(\displaystyle{ S^1}\)w \(\displaystyle{ S^1}\) to \(\displaystyle{ z^n}\) i \(\displaystyle{ z^m}\) nie są homotopijne.

Dużo prościej oprzeć kontrprzykład na fakcie, że \(\displaystyle{ Y}\) nie jest drogowo spójna (a w (d) nawet trzeba).