Matematyka.pl

Czy spotkał się ktoś kiedyś z jakimś argumentem pokazującym, że dla każdej spójnej, triangulowanej rozmaitości \(\displaystyle{ M}\) wymiaru \(\displaystyle{ n}\) zachodzi: \(\displaystyle{ H_n(M;\mathbb{Z}_2)=\mathbb{Z}_2}\) oraz \(\displaystyle{ H_n(M;\mathbb{Z})=0}\), gdy \(\displaystyle{ M}\) nie jest orientowalna?

Korzystając z machinerii takich jak kohomologie De Rhama + tw. Stokesa lub odpowiedniości Poincare można to dość bezboleśnie wywnioskować. Problem w tym, że zadanie to pojawiło się w kontekście samych homologii ze współczynnikami w grupie abelowej.

@edit

Poprawiłem \(\displaystyle{ H_n(M;\mathbb{Z}_2)=\mathbb{Z}}\) na \(\displaystyle{ H_n(M;\mathbb{Z}_2)=\mathbb{Z}_2}\).

\(\displaystyle{ H_n(M;\mathbb{Z}_2)=\mathbb{Z}}\)

to to raczej prawdą nie jest.

Dowód znajdziesz w hatcherze

No tak, ale zapewne chodzi Ci o to co jest w 3 rozdziale.

No tak, a co jest nie tak?

Chodzi o to, że w rozdziale 3 są już kohomologie, a moje pytanie było takie czy jest komuś znany dowód bez używania ani kohomologi De Rhama, tw. Stokesa, ani odpowiedniości Poincare.

Ale dowod tego co Cię interesuej w ogóle nie korzysta z kohomologii.

Ok, dzięki. Po prostu na wykładzie jesteśmy na samym koncu drugiego, a to Twierdzenie (3.26) korzysta z pojęcia orientacji, które jest w rozdziale 3 budowane. Pewnie ominięcie wielu rzeczy następuje przez to, że rozmaitość jest triangulowana.

@edit

Ok, po przeanalizowaniu widzę, że faktycznie ten dowód nie korzysta z kohomologii. Dziękuje za pomoc