Homologie rozmaitości zamkniętej

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Awatar użytkownika
Peter Zof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 576
Rejestracja: 30 cze 2012, o 16:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław (UWr) / Pułtusk
Podziękował: 87 razy
Pomógł: 63 razy

Homologie rozmaitości zamkniętej

Post autor: Peter Zof » 27 paź 2018, o 12:33

Czy spotkał się ktoś kiedyś z jakimś argumentem pokazującym, że dla każdej spójnej, triangulowanej rozmaitości \(\displaystyle{ M}\) wymiaru \(\displaystyle{ n}\) zachodzi: \(\displaystyle{ H_n(M;\mathbb{Z}_2)=\mathbb{Z}_2}\) oraz \(\displaystyle{ H_n(M;\mathbb{Z})=0}\), gdy \(\displaystyle{ M}\) nie jest orientowalna?

Korzystając z machinerii takich jak kohomologie De Rhama + tw. Stokesa lub odpowiedniości Poincare można to dość bezboleśnie wywnioskować. Problem w tym, że zadanie to pojawiło się w kontekście samych homologii ze współczynnikami w grupie abelowej.

@edit

Poprawiłem \(\displaystyle{ H_n(M;\mathbb{Z}_2)=\mathbb{Z}}\) na \(\displaystyle{ H_n(M;\mathbb{Z}_2)=\mathbb{Z}_2}\).
Ostatnio zmieniony 27 paź 2018, o 12:51 przez Peter Zof, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3121
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 152 razy
Pomógł: 475 razy

Homologie rozmaitości zamkniętej

Post autor: leg14 » 27 paź 2018, o 12:43

\(\displaystyle{ H_n(M;\mathbb{Z}_2)=\mathbb{Z}}\)
to to raczej prawdą nie jest.

Dowód znajdziesz w hatcherze
Ostatnio zmieniony 27 paź 2018, o 20:15 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Peter Zof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 576
Rejestracja: 30 cze 2012, o 16:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław (UWr) / Pułtusk
Podziękował: 87 razy
Pomógł: 63 razy

Homologie rozmaitości zamkniętej

Post autor: Peter Zof » 27 paź 2018, o 12:51

No tak, ale zapewne chodzi Ci o to co jest w 3 rozdziale.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3121
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 152 razy
Pomógł: 475 razy

Homologie rozmaitości zamkniętej

Post autor: leg14 » 27 paź 2018, o 13:13

No tak, a co jest nie tak?

Awatar użytkownika
Peter Zof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 576
Rejestracja: 30 cze 2012, o 16:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław (UWr) / Pułtusk
Podziękował: 87 razy
Pomógł: 63 razy

Homologie rozmaitości zamkniętej

Post autor: Peter Zof » 27 paź 2018, o 14:19

Chodzi o to, że w rozdziale 3 są już kohomologie, a moje pytanie było takie czy jest komuś znany dowód bez używania ani kohomologi De Rhama, tw. Stokesa, ani odpowiedniości Poincare.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3121
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 152 razy
Pomógł: 475 razy

Homologie rozmaitości zamkniętej

Post autor: leg14 » 27 paź 2018, o 14:27

Ale dowod tego co Cię interesuej w ogóle nie korzysta z kohomologii.

Awatar użytkownika
Peter Zof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 576
Rejestracja: 30 cze 2012, o 16:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław (UWr) / Pułtusk
Podziękował: 87 razy
Pomógł: 63 razy

Homologie rozmaitości zamkniętej

Post autor: Peter Zof » 27 paź 2018, o 14:49

Ok, dzięki. Po prostu na wykładzie jesteśmy na samym koncu drugiego, a to Twierdzenie (3.26) korzysta z pojęcia orientacji, które jest w rozdziale 3 budowane. Pewnie ominięcie wielu rzeczy następuje przez to, że rozmaitość jest triangulowana.

@edit

Ok, po przeanalizowaniu widzę, że faktycznie ten dowód nie korzysta z kohomologii. Dziękuje za pomoc

ODPOWIEDZ