Spójność grupy SO(n)

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 725
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 124 razy

Spójność grupy SO(n)

Post autor: karolex123 » 26 paź 2018, o 20:26

Cześć,
łatwo można zobaczyć, że grupa obrotów na płaszczyźnie \(\displaystyle{ SO(2)}\) jest spójna (jest homeomorficzna z okręgiem \(\displaystyle{ S^1}\)). A jak jest z grupą \(\displaystyle{ SO(3)}\)? Ktoś zna jakieś ciekawe argumenty za tym, by grupa \(\displaystyle{ SO(3)}\) była spójna?

jeszcze ciekawiej jakby ktoś pokazał drogę między dowolnymi obrotami w \(\displaystyle{ SO(3)}\)

no i oczywiście ten sam problem ogólny dla \(\displaystyle{ SO(n)}\)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2322
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 65 razy
Pomógł: 704 razy

Re: Spójność grupy SO(n)

Post autor: Janusz Tracz » 26 paź 2018, o 21:03

A \(\displaystyle{ SO(3)}\) nie była by analogiczne homeomorficzna z kulą \(\displaystyle{ S^2}\) albo z kwaternionami o module \(\displaystyle{ 1}\)?

Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 725
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 124 razy

Re: Spójność grupy SO(n)

Post autor: karolex123 » 26 paź 2018, o 21:19

O jakim homeomorfizmie z kulą mówisz? nie bardzo widzę, żeby taki homeomorfizm istniał
Jeśli chodzi o kwaterniony i homomorfizmy grup, to grupę macierzy unitarnych \(\displaystyle{ SU(2)}\) przekształcić na \(\displaystyle{ SO(3)}\), ale to nie jest izomorfizm

tak czy inaczej można zastanowić się także nad spójnością łukową , znalezieniem explicite drogi

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3121
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 152 razy
Pomógł: 475 razy

Spójność grupy SO(n)

Post autor: leg14 » 26 paź 2018, o 21:27

Weź wiązkę \(\displaystyle{ SO(n-1) \rightarrow SO(n) \rightarrow S^{n-1}}\) i zapraszam do indukcji

ODPOWIEDZ