Obrazy wypukłego zbioru zwartego przez odwzorowania liniowe.

[AloneAngel]

Dzień dobry,
stoję przed następującym zadaniem: Udowodnić, czy następująca implikacja jest prawdziwa:
Jeżeli \(\displaystyle{ A}\) jest wypukły i dla każdego \(\displaystyle{ \phi : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}}\) - odwzorowania liniowego obraz \(\displaystyle{ \phi(A)}\) jest zwartym przedziałem w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) to \(\displaystyle{ A}\) jest zwarty

Ograniczoność jest łatwa do pokazania. Jeżeli chodzi o domkniętość, to chciałem to pokazać z warunku ciągowego. Biorę więc jakiś ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) ze zbioru \(\displaystyle{ A}\), zbieżny do \(\displaystyle{ y}\). Trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ y \in A}\). Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) wypukły, wiec mogę założyć, że ten ciąg leży na jakiejś prostej \(\displaystyle{ l}\) ( więc jego granica też ). Następnie wziąć \(\displaystyle{ L : \mathbb{R}^n \rightarrow l}\) - rzutowanie ortogonalne (liniowe). Ponieważ \(\displaystyle{ l}\) jest homeomorficzne z \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), więc \(\displaystyle{ L(A)}\) musi być zwartym podzbiorem \(\displaystyle{ l}\). W takim razie z ciągowej zwartości (Bo \(\displaystyle{ L(x_n)_{n \in \mahtbb{N} }}\) jest ciągiem z \(\displaystyle{ L(A)}\) ) \(\displaystyle{ L(y) \in L(A)}\). I chyba utknąłem, bo z tego nie mogę wywnioskować, że \(\displaystyle{ y \in A}\). Nie wiem czy tą drogą do czegoś dojdę, może jest jakiś szybszy sposób (korzystając z jakichś własności topologicznych).

Z góry dziękuję za jakiekolwiek wskazówki.

[matmatmm]

Ograniczoność jest łatwa do pokazania.

Czyli jak dokładnie ją pokazujesz?

Jeżeli chodzi o domkniętość, to chciałem to pokazać z warunku ciągowego. Biorę więc jakiś ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) ze zbioru \(\displaystyle{ A}\), zbieżny do \(\displaystyle{ y}\). Trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ y \in A}\). Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) wypukły, wiec mogę założyć, że ten ciąg leży na jakiejś prostej \(\displaystyle{ l}\) ( więc jego granica też ).

Dlaczego można zrobić takie założenie?

Ja bym robił to zadanie mniej więcej tak:

Ustalmy ciąg \(\displaystyle{ (x^k)_{k\in\NN}}\) elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\) ( oznaczam \(\displaystyle{ x^k=(x_1^k,\ldots,x_n^k)}\)). Należy wybrać z niego podciąg zbieżny. Rzutowanie \(\displaystyle{ \pi_1}\) na pierwszą współrzędną jest ciągłym funkcjonałem liniowym, a ciąg \(\displaystyle{ (\pi_1(x^k))_{k\in\NN}=(x^k_1)_{k\in\NN}}\) jest ciągiem o wyrazach w \(\displaystyle{ \pi_1(A)}\) i z założenia ma podciąg zbieżny. Dajmy na to \(\displaystyle{ \lim_{l\to\infty}x^{k_l}_1= x_1}\). Dalej rzutowanie \(\displaystyle{ \pi_2}\) jest ciągłym funkcjonałem liniowym, a ciąg \(\displaystyle{ (\pi_2(x^{k_l}))_{l\in\NN}=(x_2^{k_l})_{l\in\NN}}\) jest ciągiem o wyrazach w \(\displaystyle{ \pi_2(A)}\) i znów z założenia ma podciąg zbieżny. Dajmy na to \(\displaystyle{ \lim_{m\to\infty}x_2^{k_{l_m}}=x_2}\). Teraz trzeba kontynuować to rozumowanie do kolejnych rzutowań \(\displaystyle{ \pi_3,\ldots,\pi_n}\) (formalnie potrzebny jest tutaj dowód indukcyjny).

PS. Nie widzę, żeby założenie wypukłości było tutaj potrzebne.

[janusz47]

Alexander Barvinok. A Course of Convexity. AMS Volume 54. 2002.

[a4karo]

PS. Nie widzę, żeby założenie wypukłości było tutaj potrzebne.

To weź kulę i "wydłub" z niej środek

[matmatmm]

Racja. Nie zwróciłem uwagi, że na końcu mojego dowodu trzeba jeszcze pokazać, że granica podciągu, czyli \(\displaystyle{ (x_1,\ldots,x_n)}\), należy do zbioru \(\displaystyle{ A}\). Na tę chwilę nie wiem jak to zrobić i być może mój dowód nie przejdzie.

[janusz47]

Jeżeli przejdziemy do dowodu tego twierdzenia w cytowanej przeze mnie książce Alexandra Barvinoka,to z założenia liniowości przekształcenia \(\displaystyle{ \phi}\) wynika istnienie tego przekształcenia dla zbioru wypukłych.

[karolex123]

Ograniczoność \(\displaystyle{ A}\) można pokazać tak; niech \(\displaystyle{ \left\{ e_i\right\}_{i=1,2,...,n}}\) będzie bazą standardową w \(\displaystyle{ \mathbb R ^n}\); mamy także bazę dualną \(\displaystyle{ \left\{ e_i ^*\right\}}\) przestrzeni sprzężonej do \(\displaystyle{ \mathbb R^ n}\). Wiemy, że dla \(\displaystyle{ i=1,2,...,n}\) zbiór \(\displaystyle{ e_i ^* (A)=\left\{ x \in \mathbb R | (x^1, x^2,...,x^{i-1},x,x^{i+1},..., x^n) \in A \right\}}\) jest zwarty, a więc jako podzbiór \(\displaystyle{ \mathbb R}\), także ograniczony; zatem istnieją stałe \(\displaystyle{ M_1,..., M_n >0}\) takie, że dla każdego \(\displaystyle{ (x^1, x^2,..., x^n) \in A}\) mamy \(\displaystyle{ |x^i |<M_i}\). Stąd widać, że \(\displaystyle{ A}\) jest zawarty w kuli w normie maksimum o środku w \(\displaystyle{ 0}\) i promieniu \(\displaystyle{ M=\max \left\{ M_i | i=1,2,...\right\}}\), więc jest ograniczony