Obrazy wypukłego zbioru zwartego przez odwzorowania liniowe.

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Awatar użytkownika
AloneAngel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 630
Rejestracja: 19 mar 2012, o 17:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 176 razy

Obrazy wypukłego zbioru zwartego przez odwzorowania liniowe.

Post autor: AloneAngel » 25 paź 2018, o 16:07

Dzień dobry,
stoję przed następującym zadaniem: Udowodnić, czy następująca implikacja jest prawdziwa:
Jeżeli \(\displaystyle{ A}\) jest wypukły i dla każdego \(\displaystyle{ \phi : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}}\) - odwzorowania liniowego obraz \(\displaystyle{ \phi(A)}\) jest zwartym przedziałem w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) to \(\displaystyle{ A}\) jest zwarty

Ograniczoność jest łatwa do pokazania. Jeżeli chodzi o domkniętość, to chciałem to pokazać z warunku ciągowego. Biorę więc jakiś ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) ze zbioru \(\displaystyle{ A}\), zbieżny do \(\displaystyle{ y}\). Trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ y \in A}\). Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) wypukły, wiec mogę założyć, że ten ciąg leży na jakiejś prostej \(\displaystyle{ l}\) ( więc jego granica też ). Następnie wziąć \(\displaystyle{ L : \mathbb{R}^n \rightarrow l}\) - rzutowanie ortogonalne (liniowe). Ponieważ \(\displaystyle{ l}\) jest homeomorficzne z \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), więc \(\displaystyle{ L(A)}\) musi być zwartym podzbiorem \(\displaystyle{ l}\). W takim razie z ciągowej zwartości (Bo \(\displaystyle{ L(x_n)_{n \in \mahtbb{N} }}\) jest ciągiem z \(\displaystyle{ L(A)}\) ) \(\displaystyle{ L(y) \in L(A)}\). I chyba utknąłem, bo z tego nie mogę wywnioskować, że \(\displaystyle{ y \in A}\). Nie wiem czy tą drogą do czegoś dojdę, może jest jakiś szybszy sposób (korzystając z jakichś własności topologicznych).

Z góry dziękuję za jakiekolwiek wskazówki.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1828
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 256 razy

Obrazy wypukłego zbioru zwartego przez odwzorowania liniowe.

Post autor: matmatmm » 25 paź 2018, o 17:26

AloneAngel pisze:Ograniczoność jest łatwa do pokazania.
Czyli jak dokładnie ją pokazujesz?
Jeżeli chodzi o domkniętość, to chciałem to pokazać z warunku ciągowego. Biorę więc jakiś ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) ze zbioru \(\displaystyle{ A}\), zbieżny do \(\displaystyle{ y}\). Trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ y \in A}\). Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) wypukły, wiec mogę założyć, że ten ciąg leży na jakiejś prostej \(\displaystyle{ l}\) ( więc jego granica też ).
Dlaczego można zrobić takie założenie?

Ja bym robił to zadanie mniej więcej tak:

Ustalmy ciąg \(\displaystyle{ (x^k)_{k\in\NN}}\) elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\) ( oznaczam \(\displaystyle{ x^k=(x_1^k,\ldots,x_n^k)}\)). Należy wybrać z niego podciąg zbieżny. Rzutowanie \(\displaystyle{ \pi_1}\) na pierwszą współrzędną jest ciągłym funkcjonałem liniowym, a ciąg \(\displaystyle{ (\pi_1(x^k))_{k\in\NN}=(x^k_1)_{k\in\NN}}\) jest ciągiem o wyrazach w \(\displaystyle{ \pi_1(A)}\) i z założenia ma podciąg zbieżny. Dajmy na to \(\displaystyle{ \lim_{l\to\infty}x^{k_l}_1= x_1}\). Dalej rzutowanie \(\displaystyle{ \pi_2}\) jest ciągłym funkcjonałem liniowym, a ciąg \(\displaystyle{ (\pi_2(x^{k_l}))_{l\in\NN}=(x_2^{k_l})_{l\in\NN}}\) jest ciągiem o wyrazach w \(\displaystyle{ \pi_2(A)}\) i znów z założenia ma podciąg zbieżny. Dajmy na to \(\displaystyle{ \lim_{m\to\infty}x_2^{k_{l_m}}=x_2}\). Teraz trzeba kontynuować to rozumowanie do kolejnych rzutowań \(\displaystyle{ \pi_3,\ldots,\pi_n}\) (formalnie potrzebny jest tutaj dowód indukcyjny).

PS. Nie widzę, żeby założenie wypukłości było tutaj potrzebne.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5794
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1265 razy

Obrazy wypukłego zbioru zwartego przez odwzorowania liniowe.

Post autor: janusz47 » 25 paź 2018, o 17:36

Alexander Barvinok. A Course of Convexity. AMS Volume 54. 2002.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17732
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2992 razy

Obrazy wypukłego zbioru zwartego przez odwzorowania liniowe.

Post autor: a4karo » 25 paź 2018, o 17:56

matmatmm pisze:PS. Nie widzę, żeby założenie wypukłości było tutaj potrzebne.
To weź kulę i "wydłub" z niej środek
Ostatnio zmieniony 25 paź 2018, o 18:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1828
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 256 razy

Re: Obrazy wypukłego zbioru zwartego przez odwzorowania lini

Post autor: matmatmm » 25 paź 2018, o 19:33

Racja. Nie zwróciłem uwagi, że na końcu mojego dowodu trzeba jeszcze pokazać, że granica podciągu, czyli \(\displaystyle{ (x_1,\ldots,x_n)}\), należy do zbioru \(\displaystyle{ A}\). Na tę chwilę nie wiem jak to zrobić i być może mój dowód nie przejdzie.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5794
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1265 razy

Obrazy wypukłego zbioru zwartego przez odwzorowania liniowe.

Post autor: janusz47 » 26 paź 2018, o 11:34

Jeżeli przejdziemy do dowodu tego twierdzenia w cytowanej przeze mnie książce Alexandra Barvinoka,to z założenia liniowości przekształcenia \(\displaystyle{ \phi}\) wynika istnienie tego przekształcenia dla zbioru wypukłych.

Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 728
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 124 razy

Re: Obrazy wypukłego zbioru zwartego przez odwzorowania lini

Post autor: karolex123 » 26 paź 2018, o 15:09

Ograniczoność \(\displaystyle{ A}\) można pokazać tak; niech \(\displaystyle{ \left\{ e_i\right\}_{i=1,2,...,n}}\) będzie bazą standardową w \(\displaystyle{ \mathbb R ^n}\); mamy także bazę dualną \(\displaystyle{ \left\{ e_i ^*\right\}}\) przestrzeni sprzężonej do \(\displaystyle{ \mathbb R^ n}\). Wiemy, że dla \(\displaystyle{ i=1,2,...,n}\) zbiór \(\displaystyle{ e_i ^* (A)=\left\{ x \in \mathbb R | (x^1, x^2,...,x^{i-1},x,x^{i+1},..., x^n) \in A \right\}}\) jest zwarty, a więc jako podzbiór \(\displaystyle{ \mathbb R}\), także ograniczony; zatem istnieją stałe \(\displaystyle{ M_1,..., M_n >0}\) takie, że dla każdego \(\displaystyle{ (x^1, x^2,..., x^n) \in A}\) mamy \(\displaystyle{ |x^i |<M_i}\). Stąd widać, że \(\displaystyle{ A}\) jest zawarty w kuli w normie maksimum o środku w \(\displaystyle{ 0}\) i promieniu \(\displaystyle{ M=\max \left\{ M_i | i=1,2,...\right\}}\), więc jest ograniczony

ODPOWIEDZ