Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ (X, \theta)}\) będzie przestrzenią topologiczną, niech \(\displaystyle{ x\in X}\).
Chcę zapytać dlaczego istotne jest to, aby w tych dwóch przestrzeniach dowolny zbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\) taki, że \(\displaystyle{ x\notin A}\) był domknięty?
Oraz dlaczego funkcja w przypadku przestrzeni Tichonowa musi być ciągła?

duze_jablko2 pisze:Niech \(\displaystyle{ (X, \theta)}\) będzie przestrzenią topologiczną, niech \(\displaystyle{ x\in X}\).
Chcę zapytać dlaczego istotne jest to, aby w tych dwóch przestrzeniach dowolny zbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\) taki, że \(\displaystyle{ x\notin A}\) był domknięty?

Czy uważasz, że to pytanie ma sens? Wygląda to tak, jakby cenzura wycięła Ci środek postu nie zostawiając śladów...

JK

Zgadzam się z przedmówcą, że Twoje pytanie jest niejasne. Jeśli odnosisz się do sformułowania definicji, którą masz przed oczami, to powinieneś je przytoczyć, bo nie wszystkie wersje takiej definicji są co do słowa identyczne.

Spróbuję zgadnąć, co masz na myśli:

Gdyby w definicji przestrzeni regularnej nie zakładać domkniętości \(\displaystyle{ A}\), to warunek nie mógłby zachodzić dla prawie żadnej przestrzeni topologicznej (nie zachodziłby nawet dla \(\displaystyle{ \RR}\) z topologią euklidesową). Wystarczy wziąć element \(\displaystyle{ x \in X}\) i zbiór \(\displaystyle{ A}\), taki że \(\displaystyle{ x \in \mathrm{cl} \: A \setminus A}\), i wtedy dla każdego otwartego otoczenia \(\displaystyle{ U}\) punktu \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ A \cap U \neq \varnothing}\), więc tym bardziej nie istnieją otwarte i rozłączne \(\displaystyle{ U, V}\), takie że \(\displaystyle{ x \in U}\) oraz \(\displaystyle{ A \subseteq V}\).

A gdybyśmy dodali założenie, że \(\displaystyle{ x \notin \mathrm{cl} \: A}\), to otrzymalibyśmy warunek równoważny standardowemu (proste ćwiczenie), ale o bardziej skomplikowanym sformułowaniu, dlatego nikt tego nie robi.

Podobnie dla przestrzeni Tichonowa.