Przestrzeń regularna i i Tichonowa

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
duze_jablko2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 30 cze 2013, o 18:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 1 raz

Przestrzeń regularna i i Tichonowa

Post autor: duze_jablko2 » 25 paź 2018, o 10:55

Niech \(\displaystyle{ (X, \theta)}\) będzie przestrzenią topologiczną, niech \(\displaystyle{ x\in X}\).
Chcę zapytać dlaczego istotne jest to, aby w tych dwóch przestrzeniach dowolny zbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\) taki, że \(\displaystyle{ x\notin A}\) był domknięty?
Oraz dlaczego funkcja w przypadku przestrzeni Tichonowa musi być ciągła?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25448
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4240 razy

Przestrzeń regularna i i Tichonowa

Post autor: Jan Kraszewski » 25 paź 2018, o 11:12

duze_jablko2 pisze:Niech \(\displaystyle{ (X, \theta)}\) będzie przestrzenią topologiczną, niech \(\displaystyle{ x\in X}\).
Chcę zapytać dlaczego istotne jest to, aby w tych dwóch przestrzeniach dowolny zbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\) taki, że \(\displaystyle{ x\notin A}\) był domknięty?
Czy uważasz, że to pytanie ma sens? Wygląda to tak, jakby cenzura wycięła Ci środek postu nie zostawiając śladów...

JK

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8585
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1799 razy

Przestrzeń regularna i i Tichonowa

Post autor: Dasio11 » 25 paź 2018, o 20:36

Zgadzam się z przedmówcą, że Twoje pytanie jest niejasne. Jeśli odnosisz się do sformułowania definicji, którą masz przed oczami, to powinieneś je przytoczyć, bo nie wszystkie wersje takiej definicji są co do słowa identyczne.

Spróbuję zgadnąć, co masz na myśli:

Gdyby w definicji przestrzeni regularnej nie zakładać domkniętości \(\displaystyle{ A}\), to warunek nie mógłby zachodzić dla prawie żadnej przestrzeni topologicznej (nie zachodziłby nawet dla \(\displaystyle{ \RR}\) z topologią euklidesową). Wystarczy wziąć element \(\displaystyle{ x \in X}\) i zbiór \(\displaystyle{ A}\), taki że \(\displaystyle{ x \in \mathrm{cl} \: A \setminus A}\), i wtedy dla każdego otwartego otoczenia \(\displaystyle{ U}\) punktu \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ A \cap U \neq \varnothing}\), więc tym bardziej nie istnieją otwarte i rozłączne \(\displaystyle{ U, V}\), takie że \(\displaystyle{ x \in U}\) oraz \(\displaystyle{ A \subseteq V}\).

A gdybyśmy dodali założenie, że \(\displaystyle{ x \notin \mathrm{cl} \: A}\), to otrzymalibyśmy warunek równoważny standardowemu (proste ćwiczenie), ale o bardziej skomplikowanym sformułowaniu, dlatego nikt tego nie robi.

Podobnie dla przestrzeni Tichonowa.

ODPOWIEDZ