\(\displaystyle{ d \left( f,g \right) = \int_{0}^{1} |f \left( t \right) - g \left( t \right) |dt}\)
\(\displaystyle{ A = \left\{ f \in C \left[ 0,1 \right] : f \left( t \right) >0\mbox{ dla }t \in \left[ 0,1 \right] \right\}}\)
\(\displaystyle{ B = \left\{ f \in C \left[ 0,1 \right] : f\mbox{ przyjmuje wartość } 0 \right\}}\)
\(\displaystyle{ C = \left\{ f \in C \left[ 0,1 \right] : \int_{0}^{1}|f \left( t \right) |dt < 1 \right }}\)
\(\displaystyle{ D = \left\{ f \in C \left[ 0,1 \right] : f\mbox{ jest ściśle rosnąca }\right\}}\)
ktore z tych zbiorow sa otwarte w metryce \(\displaystyle{ d}\).
znam definicje zbioru otwartego i z jakimis innymi metrykami sprawa ma sie o wiele bardziej niz z metryka calkowa, ktos jest w stanie podpowiedziec albo zaprezentowac na ktoryms z tych zbiorow?
Zbiory otwarte w metryce calkowej
-
- Użytkownik
- Posty: 165
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 09:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 28 razy
Zbiory otwarte w metryce calkowej
Ostatnio zmieniony 8 paź 2018, o 21:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Nawiasy klamrowe to \{, \}.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Nawiasy klamrowe to \{, \}.
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Re: Zbiory otwarte w metryce calkowej
Spójrzmy np. na zbiór \(\displaystyle{ B}\). Zakładam oczywiście, że przestrzenią metryczną jest przestrzeń funkcji ciągłych na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\) z metryką całkową \(\displaystyle{ d}\)
Po pierwsze, funkcja dana wzorem \(\displaystyle{ f(x)=1-x}\) należy do \(\displaystyle{ B}\), bo \(\displaystyle{ f(1)=0}\). Rozważmy więc dowolną kulę o środku \(\displaystyle{ f}\) i promieniu \(\displaystyle{ \epsilon >0}\); oznaczmy ją \(\displaystyle{ \cal B}\). Zobacz, że funkcja \(\displaystyle{ g:\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb R}\) dana wzorem \(\displaystyle{ g(x)=f(x)+ \frac{\epsilon}{2}}\) jest oczywiście ciągła, ma wartości dodatnie, a przede wszystkim należy do kuli \(\displaystyle{ \cal B}\). Jaki stąd wniosek? Zauważ, że \(\displaystyle{ \epsilon}\), czyli promień kulki \(\displaystyle{ \cal B}\) był wybrany dowolnie
Po pierwsze, funkcja dana wzorem \(\displaystyle{ f(x)=1-x}\) należy do \(\displaystyle{ B}\), bo \(\displaystyle{ f(1)=0}\). Rozważmy więc dowolną kulę o środku \(\displaystyle{ f}\) i promieniu \(\displaystyle{ \epsilon >0}\); oznaczmy ją \(\displaystyle{ \cal B}\). Zobacz, że funkcja \(\displaystyle{ g:\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb R}\) dana wzorem \(\displaystyle{ g(x)=f(x)+ \frac{\epsilon}{2}}\) jest oczywiście ciągła, ma wartości dodatnie, a przede wszystkim należy do kuli \(\displaystyle{ \cal B}\). Jaki stąd wniosek? Zauważ, że \(\displaystyle{ \epsilon}\), czyli promień kulki \(\displaystyle{ \cal B}\) był wybrany dowolnie