Zbiory otwarte w metryce calkowej

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Elek112
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 155
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 09:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 27 razy

Zbiory otwarte w metryce calkowej

Post autor: Elek112 » 8 paź 2018, o 20:55

\(\displaystyle{ d \left( f,g \right) = \int_{0}^{1} |f \left( t \right) - g \left( t \right) |dt}\)

\(\displaystyle{ A = \left\{ f \in C \left[ 0,1 \right] : f \left( t \right) >0\mbox{ dla }t \in \left[ 0,1 \right] \right\}}\)

\(\displaystyle{ B = \left\{ f \in C \left[ 0,1 \right] : f\mbox{ przyjmuje wartość } 0 \right\}}\)

\(\displaystyle{ C = \left\{ f \in C \left[ 0,1 \right] : \int_{0}^{1}|f \left( t \right) |dt < 1 \right }}\)

\(\displaystyle{ D = \left\{ f \in C \left[ 0,1 \right] : f\mbox{ jest ściśle rosnąca }\right\}}\)

ktore z tych zbiorow sa otwarte w metryce \(\displaystyle{ d}\).

znam definicje zbioru otwartego i z jakimis innymi metrykami sprawa ma sie o wiele bardziej niz z metryka calkowa, ktos jest w stanie podpowiedziec albo zaprezentowac na ktoryms z tych zbiorow?
Ostatnio zmieniony 8 paź 2018, o 21:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Nawiasy klamrowe to \{, \}.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 728
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 124 razy

Re: Zbiory otwarte w metryce calkowej

Post autor: karolex123 » 9 paź 2018, o 10:11

Spójrzmy np. na zbiór \(\displaystyle{ B}\). Zakładam oczywiście, że przestrzenią metryczną jest przestrzeń funkcji ciągłych na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\) z metryką całkową \(\displaystyle{ d}\)

Po pierwsze, funkcja dana wzorem \(\displaystyle{ f(x)=1-x}\) należy do \(\displaystyle{ B}\), bo \(\displaystyle{ f(1)=0}\). Rozważmy więc dowolną kulę o środku \(\displaystyle{ f}\) i promieniu \(\displaystyle{ \epsilon >0}\); oznaczmy ją \(\displaystyle{ \cal B}\). Zobacz, że funkcja \(\displaystyle{ g:\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb R}\) dana wzorem \(\displaystyle{ g(x)=f(x)+ \frac{\epsilon}{2}}\) jest oczywiście ciągła, ma wartości dodatnie, a przede wszystkim należy do kuli \(\displaystyle{ \cal B}\). Jaki stąd wniosek? Zauważ, że \(\displaystyle{ \epsilon}\), czyli promień kulki \(\displaystyle{ \cal B}\) był wybrany dowolnie

ODPOWIEDZ