Matematyka.pl

Zaznaczam, że niestety nie miałem jeszcze normalnie topologii - tylko te elementy prz. metr. w ramach Analizy Matematycznej i chociaż kilkukrotnie wracałem do tematu, to ciągle takie kwiatki wychodzą Proszę o wyrozumiałość...

W prz. metrycznej zwartość zbioru jest równoważna temu, że każdy ciąg elementów tego zbioru zawiera podciąg zbieżny (to jest tzw. zwartość ciągowa, prawda?).

Tw. Bolzana-Weierstrassa orzeka, że ograniczony ciąg liczb rzeczywistych zawiera podciąg zbieżny.

Jeśli wezmę dowolny \(\displaystyle{ (a_n)_{n\in \mathbb{N}}}\) ciąg o wyrazach w przedziale \(\displaystyle{ (a, b)}\), to jest to ciąg ograniczony o wyrazach rzeczywistych \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) zawiera podciąg zbieżny \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) z dowolności \(\displaystyle{ (a_n)_{n\in \mathbb{N}}}\) mam, że \(\displaystyle{ (a,b)}\) jest zwarty... Ale to nie prawda - jest twierdzeniem, że zwarty podzbiór przestrzeni metrycznej jest domknięty a tu wziąłem zbiór otwarty :<, poza tym w ramach definicji zwartości z pokryciami zbiorów potrafię podać przykład pokrycia otwartego dla \(\displaystyle{ (a,b)}\), z którego nie da się wybrać podpokrycia skończonego...
(może to ograniczenie ciągu źle rozumiem? \(\displaystyle{ \forall n\in \mathbb{N}. a < a_n < b}\): to także można napisać bez kłamstwa, że \(\displaystyle{ a \leq a_n \leq b}\) - ciąg "ograniczony" (tak zawsze rozumiałem) )


Ogólnie: wiem, że przedziały domknięte są zwarte a otwarte i otwarto-domknięte nie.
W definicji z pokryciami albo potrafię podać albo znaleźć w książce kontrprzykłady (,że nie są zwarte) ale Tw. Bolzana-Weierstrassa i ten ciągowy równoważnik mi mieszają :<

Przywykłem, że w wielu dowodach jeśli w tezie mamy funkcję \(\displaystyle{ f\colon [a,b]\to \mathbb{R}}\) to się uśmiechamy i korzystamy z róznych fajnych własności (np. funkcja ciągła określona na zb. zwartym jest jednostajnie ciągła etc.) ale za każdym razem mnie gryzie, że wyraźnie nie rozumiem tej zwartości Proszę, wskażcie gdzie leżą moje braki w wiedzy i rozumieniu :<

Tak na szybko:

W prz. metrycznej zwartość zbioru jest równoważna temu, że każdy ciąg elementów tego zbioru zawiera podciąg zbieżny do elementu tego zbioru (to jest tzw. zwartość ciągowa, prawda?).

Tak ogólnie lepiej definiować to tak: przestrzeń metryczną nazywamy (ciągowo)* zwartą, jeśli każdy ciąg elementów tej przestrzeni zawiera podciąg zbieżny. Wtedy definicja zbioru zwartego jest zręczniejsza: podzbiór przestrzeni metrycznej nazywamy zwartym, jeśli jest zwarty jako przestrzeń metryczna (z metryką indukowaną). W takim sformułowaniu nie ucieka nam ten wytłuszczony fragment.

I tak, zwartość to bardzo przydatna własność (ale nie zawsze dostępna).

* o równoważności zwartości i ciągowej zwartości w kategorii przestrzeni metrycznych mówi twierdzenie Borela-Lebesgue'a

Dzięki, załapałem gdzie mi się to rozmyło ^^