zapisać przedział domknięty jako przekrój ciągu prz. otw.

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Euler41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 2 maja 2018, o 22:50
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 4 razy

zapisać przedział domknięty jako przekrój ciągu prz. otw.

Post autor: Euler41 » 10 sie 2018, o 14:36

Zapisać przedział domknięty postaci \(\displaystyle{ [a, b] \subset \RR}\) jako przekrój ciągu przedziałów otwartych. Podobnie zapisać przedział otwarty \(\displaystyle{ (a, b)}\) jako sumę przedziałów domkniętych.
\(\displaystyle{ [a, b] = \bigcap_{n=1}^{ \infty } \left( a - \frac{1}{n} , b + \frac{1}{n} \right)}\)

\(\displaystyle{ (a, b) = \bigcup_{n=1}^{ \infty } \left[ a + \frac{1}{n} , b - \frac{1}{n} \right]}\)

Tyle wymyśliłem, ale źle mi to wygląda, a innego pomysłu niestety nie mam.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14304
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 4700 razy

Re: zapisać przedział domknięty jako przekrój ciągu prz. otw

Post autor: Premislav » 10 sie 2018, o 14:46

Przecież dobrze jest.

Euler41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 2 maja 2018, o 22:50
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 4 razy

Re: zapisać przedział domknięty jako przekrój ciągu prz. otw

Post autor: Euler41 » 10 sie 2018, o 14:58

O!
To nowość.

Jeśli mogę mieć jeszcze jedno pytanie: Dlaczego tak jest?
Bo z jednej strony, to widzę, z drugiej strony mi się to wydaje jakieś takie...

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14304
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 4700 razy

Re: zapisać przedział domknięty jako przekrój ciągu prz. otw

Post autor: Premislav » 10 sie 2018, o 15:09

Oczywiście zakładamy, że \(\displaystyle{ a<b}\). Dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) mamy wtedy
\(\displaystyle{ a-\frac 1 n<a<b<b+\frac 1 n}\), więc dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) zachodzi
\(\displaystyle{ [a,b]\subset \left( a-\frac 1 n, b+\frac 1 n\right)}\), w związku z tym
\(\displaystyle{ [a,b]\subset \bigcap_{n=1}^{ \infty } \left( a-\frac 1 n, b+\frac 1 n\right)}\).
Z drugiej strony, jeśli \(\displaystyle{ x<a}\), to istnieje takie \(\displaystyle{ n_0\in \NN^+}\), że dla dowolnego \(\displaystyle{ n>n_0}\) mamy \(\displaystyle{ x<a-\frac 1 n}\), tj. dla \(\displaystyle{ n>n_0}\) jest \(\displaystyle{ x\notin \left( a-\frac 1 n, b+\frac 1 n\right)}\) (w szczególności istnieje taki indeks \(\displaystyle{ n>n_0}\), że
\(\displaystyle{ x\notin \left( a-\frac 1 n, b+\frac 1 n\right)}\)), a stąd \(\displaystyle{ x\notin \bigcap_{n=1}^{ \infty } \left( a-\frac 1 n, b+\frac 1 n\right)}\).
Podobnie jeśli \(\displaystyle{ y>b}\), to istnieje takie \(\displaystyle{ n_1\in \NN^+}\), że dla wszystkich \(\displaystyle{ n}\) większych niż \(\displaystyle{ n_1}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ y>b+\frac 1 n}\). Zatem dla \(\displaystyle{ n>n_1}\) z pewnością \(\displaystyle{ y\notin \left( a-\frac 1 n, b+\frac 1 n\right)}\), czyli
\(\displaystyle{ y\notin \bigcap_{n=1}^{ \infty } \left( a-\frac 1 n, b+\frac 1 n\right)}\)
Czyli
\(\displaystyle{ [a,b]\subset \bigcap_{n=1}^{ \infty } \left( a-\frac 1 n, b+\frac 1 n\right)\subset [a,b]}\),
a z tego wynika, że
\(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{ \infty } \left( a-\frac 1 n, b+\frac 1 n\right)= [a,b]}\)
A z tym drugim dosyć podobnie, spróbuj sam, i tak już się rozpisałem.

Euler41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 2 maja 2018, o 22:50
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 4 razy

Re: zapisać przedział domknięty jako przekrój ciągu prz. otw

Post autor: Euler41 » 10 sie 2018, o 17:29

\(\displaystyle{ x<a}\), to istnieje takie \(\displaystyle{ n_0\in \NN^+}\), że dla dowolnego \(\displaystyle{ n>n_0}\) mamy \(\displaystyle{ x<a-\frac{1}{n}}\)
Nie bardzo rozumiem ten fragment.

Moje (pewnie błędne) myślenie:
\(\displaystyle{ a = 2, x = \frac{7}{4}, n = 2, n_0 = 1}\)

To wówczas \(\displaystyle{ x < a}\), ale \(\displaystyle{ x > a - \frac{1}{n}}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14304
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 4700 razy

Re: zapisać przedział domknięty jako przekrój ciągu prz. otw

Post autor: Premislav » 10 sie 2018, o 17:46

Czy rozróżniasz „dla każdego" i „istnieje"?
Wybacz, ale jeśli problem jest na takim poziomie, to czarno to widzę.

Nie możesz sobie brać tego \(\displaystyle{ n_0}\) z powietrza, bo ono nie jest dowolne (i przeważnie zależy od \(\displaystyle{ x, a}\)). Chodzi o coś takiego: masz dwie różne liczby \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ a}\), powiedzmy \(\displaystyle{ x<a}\). Wówczas ich odległość na osi liczbowej jest równa \(\displaystyle{ a-x}\). Ponieważ zbiór liczb naturalnych jest nieograniczony z góry, więc istnieje takie \(\displaystyle{ n_0\in \NN}\), że \(\displaystyle{ n_0>\frac{1}{a-x}}\). Równoważnie (oczywiście bowiem \(\displaystyle{ a-x>0}\) w myśl powyższych założeń)
\(\displaystyle{ a-x>\frac{1}{n_0}}\), czyli
\(\displaystyle{ a=x+(a-x)>x+\frac{1}{n_0}}\), stąd
\(\displaystyle{ a-\frac{1}{n_0}>x}\).
No i oczywiście jeśli \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) spełnia \(\displaystyle{ n>n_0}\), to
\(\displaystyle{ a-\frac 1 n>a-\frac{1}{n_0}>x}\).
Czy miałeś przedmiot pt. „analiza matematyczna"? To jest typowe rozumowanie dla tego przedmiotu.

Euler41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 2 maja 2018, o 22:50
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 4 razy

Re: zapisać przedział domknięty jako przekrój ciągu prz. otw

Post autor: Euler41 » 10 sie 2018, o 18:55

Premislav pisze:Czy rozróżniasz „dla każdego" i „istnieje"?
Wybacz, ale jeśli problem jest na takim poziomie, to czarno to widzę.

Nie możesz sobie brać tego \(\displaystyle{ n_0}\) z powietrza, bo ono nie jest dowolne (i przeważnie zależy od \(\displaystyle{ x, a}\)).
Jeżeli jest zależne od \(\displaystyle{ x, a}\), to OK, to nie wiedziałem.

Bo oczywiście wiem, że w przypadku \(\displaystyle{ n_0}\) podanie kontrprzykładu nie ma sensu, ale w przypadku dowolnego \(\displaystyle{ n}\) już ma, a \(\displaystyle{ n_0}\) uzależniłeś od \(\displaystyle{ n}\), tak, ze \(\displaystyle{ n_0 < n}\), więc z dowolność \(\displaystyle{ n}\) wziąłem sobie \(\displaystyle{ n = 2}\) i jedną liczbą jaka spełnia wówczas warunki \(\displaystyle{ n_0}\) (\(\displaystyle{ n_0 \in \NN^+}\) i \(\displaystyle{ n > n_0}\)) jest \(\displaystyle{ n_0 = 1}\).

\(\displaystyle{ a, x}\) rozumiem należą do \(\displaystyle{ \RR}\) myślałem więc, że przykład jest dobry.


Ale w świetle tego co napisałeś wyżej, już rozumiem, dziękuję.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14304
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 4700 razy

Re: zapisać przedział domknięty jako przekrój ciągu prz. otw

Post autor: Premislav » 10 sie 2018, o 21:24

Bo oczywiście wiem, że w przypadku \(\displaystyle{ n_0}\) podanie kontrprzykładu nie ma sensu, ale w przypadku dowolnego \(\displaystyle{ n}\) już ma, a \(\displaystyle{ n_0}\) uzależniłeś od \(\displaystyle{ n}\), tak, ze \(\displaystyle{ n_0 < n}\), więc z dowolność \(\displaystyle{ n}\) wziąłem sobie \(\displaystyle{ n = 2}\) i jedną liczbą jaka spełnia wówczas warunki \(\displaystyle{ n_0}\) (\(\displaystyle{ n_0 \in \NN^+}\) i \(\displaystyle{ n > n_0}\)) jest \(\displaystyle{ n_0 = 1}\).
To może napiszę symbolami dla pełnej jasności: jeśli \(\displaystyle{ x<a}\), to
\(\displaystyle{ \left(\exists n_0\in \NN^+ \right) \left(\forall n>n_0 \right)\left( x<a-\frac 1 n\right)}\),
więc tutaj niezasadnie odwróciłeś kolejność: najpierw masz \(\displaystyle{ n_0}\), które nie jest dowolne, potem możesz wziąć każde \(\displaystyle{ n}\) większe od tego \(\displaystyle{ n_0}\), nie na odwrót. Uważaj na takie rzeczy, bo na tej zasadzie by Ci wyszło dużo bzdet, np. że granica górna ciągu zbiorów zawsze jest równa granicy dolnej (oczywiście to nieprawda) itd. Nie możesz sobie ot tak po prostu zmieniać kolejności kwantyfikatorów.

ODPOWIEDZ