zawieranie się zbiorów, dowód

[monikamonika]

Jest to fragment dowodu na to, że \(\displaystyle{ \overline{A} =B}\). Udowodniłam już, że \(\displaystyle{ B}\) jest domknięty, oraz że \(\displaystyle{ \overline{A} \subset B}\). Trzecim moim krokiem jest wykazanie, że \(\displaystyle{ B \subset \overline{A}}\) za pomocą rozbicia \(\displaystyle{ B=A\cup (B\setminus A)}\), wiadomo, że \(\displaystyle{ A\subset\overline{A}}\), potrzebuję jeszcze udowodnić, że \(\displaystyle{ B\setminus A \subset \overline{A}}\).

\(\displaystyle{ A={(x,y) | y^2-x^4>0}}\)
\(\displaystyle{ B={(x,y) | y^2-x^4\ge 0}}\)

Rozbiłam dowód na dwa przypadki.
I. (parabola górna):
\(\displaystyle{ A={(x,y) | y-x^2>0}}\)
\(\displaystyle{ B\setminus A={(x,y) | y-x^2=0}}\)
Wzięłam \(\displaystyle{ (x,y)\in B\setminus A}\) i ciąg \(\displaystyle{ (x,y+\frac{1}{n})\in A}\)
Wtedy \(\displaystyle{ y+\frac{1}{n} -x^2>0 \Rightarrow (x,y)\in A \Rightarrow (x,y)\in \overline{A} \Rightarrow B\setminus A\subset \overline{A}}\).

II. (parabola dolna):
\(\displaystyle{ A={(x,y) | y+x^2>0}}\)
\(\displaystyle{ B\setminusA={(x,y) | y+x^2=0}}\)
Wzięłam \(\displaystyle{ (x,y)\in B\setminusA}\) i ciąg \(\displaystyle{ (x,y-\frac{1}{n})\in A}\)
Wtedy \(\displaystyle{ y-\frac{1}{n} -x^2<0 \Rightarrow (x,y)\in A \Rightarrow (x,y)\in \overline{A} \Rightarrow B\setminusA\subset \overline{A}}\).

Moje pytania brzmią: czy dowód został przeprowadzony poprawnie? Czy można tak rozdzielić ten zbiór (mam na myśli głównie \(\displaystyle{ B\setminus A}\)) - czy faktycznie jest w ten sposób zależne od A? Jeśli nie, to jak to zrobić poprawnie?