Zwartość zbioru

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Kamilos103
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 10 lip 2018, o 22:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Zwartość zbioru

Post autor: Kamilos103 » 10 lip 2018, o 23:35

Cześć.
Jak pokazać, że zbiór S jest zwarty
\(\displaystyle{ S={\{x=(x_1,...,x_n) : (x_1,...,x_n)>0 \wedge\prod\limits_{i=1}^{n}x_i^{\delta_i}=c \}}}\)
przy dodatkowych założeniach że \(\displaystyle{ \delta_i>0}\) i \(\displaystyle{ \sum\limits_{i=1}^{n}\delta_i=1}\).

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25391
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4230 razy

Re: Zwartość zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 11 lip 2018, o 02:06

A cóż to jest \(\displaystyle{ (x_1,...,x_n)}\) ? No chyba nie element \(\displaystyle{ \RR^n}\), bo cóż miałoby wtedy znaczyć \(\displaystyle{ (x_1,...,x_n)>0}\).

JK

Kamilos103
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 10 lip 2018, o 22:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Zwartość zbioru

Post autor: Kamilos103 » 11 lip 2018, o 09:34

\(\displaystyle{ (x_1,...,x_n)}\) są to zmienne a zapis \(\displaystyle{ (x_1,...,x_n)>0}\) miał oznaczać że, każda ze zmiennych jest liczbą dodatnią.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25391
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4230 razy

Zwartość zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 11 lip 2018, o 11:35

Kamilos103 pisze:\(\displaystyle{ (x_1,...,x_n)}\) są to zmienne
To nie jest odpowiedź.
Kamilos103 pisze:a zapis \(\displaystyle{ (x_1,...,x_n)>0}\) miał oznaczać że, każda ze zmiennych jest liczbą dodatnią.
A to jest bardzo niepoprawny zapis.

JK

Kamilos103
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 10 lip 2018, o 22:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Zwartość zbioru

Post autor: Kamilos103 » 11 lip 2018, o 13:58

A zatem jeżeli tak zdefiniuje ten zbiór to będzie poprawnie??
\(\displaystyle{ S=\{(x_1,...,x_n)\in(0,\infty)^n:\prod\limits_{i=1} ^nx_i^{\delta_i}=c\}}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16998
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 2855 razy

Re: Zwartość zbioru

Post autor: a4karo » 11 lip 2018, o 15:07

Będzie poprawnie, ale nie będzie zwarte

Kamilos103
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 10 lip 2018, o 22:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Zwartość zbioru

Post autor: Kamilos103 » 11 lip 2018, o 15:46

A czy da się pokazać że taki zbiór posiada minimum??

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16998
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 2855 razy

Re: Zwartość zbioru

Post autor: a4karo » 11 lip 2018, o 16:31

A co to jest minimum zbioru w przypadku podzbioru \(\displaystyle{ \RR^n}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14290
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 4695 razy

Re: Zwartość zbioru

Post autor: Premislav » 11 lip 2018, o 17:08

Zmień nierówności \(\displaystyle{ x_i> 0, \ i=1\ldots n}\) na \(\displaystyle{ x_i\ge 0, \ i=1\ldots n}\), wówczas już będziesz miał zbiór zwarty i potem sprawdź, czy ekstrema wypadają wewnątrz (tj. tam, gdzie \(\displaystyle{ x_i>0}\)), jeśli tak, to rozwiązałeś problem też dla wyjściowego zbioru. Rozumiem, że szukasz ekstremów warunkowych i chciałeś skorzystać zapewne z metody mnożników Lagrange'a i tw. Weierstrassa o przyjmowaniu kresów (stąd przydałby się zbiór zwarty, tylko że ten akurat nie jest zwarty, ale da się to obejść jak wyżej).

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16998
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 2855 razy

Re: Zwartość zbioru

Post autor: a4karo » 11 lip 2018, o 19:13

Premislav, ależ toto zawsze nieograniczone będzie, Adolfku

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14290
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 4695 razy

Re: Zwartość zbioru

Post autor: Premislav » 11 lip 2018, o 19:53

O rany, faktycznie, co za porażka. Powinienem zmienić nazwisko na „Orażka", wówczas mógłbym się w adekwatny sposób podpisywać.-- 11 lip 2018, o 18:55 --Nie wiem, dlaczego myślałem o sumie \(\displaystyle{ x_i}\) zamiast o iloczynie.

Kamilos103
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 10 lip 2018, o 22:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Re: Zwartość zbioru

Post autor: Kamilos103 » 11 lip 2018, o 20:49

W takim razie nie mogę pokazać zwartości więc nie mogę użyć twierdzenia Weierstrassa.
Zatem w jaki inny sposób mogę pokazać że jednak istnieje minimum globalne dla
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} f(x)=\sum\limits_{i=1}^n\delta_i\cdot x_i\longrightarrow min\\przy \ ograniczeniach\\g(x)=\prod\limits_{i=1}^nx_i^{\delta_i}-c=0 \\x=(x_1,...,x_n)\in(0,\infty)^n\end{array}}\)
I przy założeniach że \(\displaystyle{ \delta_i>0}\) oraz \(\displaystyle{ \sum\limits_{i=1}^n\delta_i=1}\)
abym mógł użyć mnożników Lagrange'a

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14290
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 4695 razy

Re: Zwartość zbioru

Post autor: Premislav » 11 lip 2018, o 21:12

Jeżeli chcesz korzystać z tego rodzaju metody, to moja propozycja jest trochę trickowa: odwróć problem
i przy ustalonej wartości \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \delta_i x_i}\) (sorry, nie chce mi się pisać indeksów) maksymalizuj \(\displaystyle{ \prod_{}^{} x_i^{\delta_i}}\), gdzie \(\displaystyle{ x_i, \ \delta_i}\) jak wyżej u Ciebie.
Zbiór
\(\displaystyle{ \left\{ (x_1, \ldots x_n)\in \RR^n: \ \sum_{}^{}\delta_i x_i=d, \ (\forall i \in n+1)x_i\ge 0\right\}}\)
gdzie \(\displaystyle{ d}\) to jakaś tam stała dodatnia jak najbardziej jest już zwarty.


Bo pewnie wiesz, że bez mnożników Lagrange'a to zadanko łatwo rozwalić z użyciem nierówności Jensena dla funkcji wklęsłej \(\displaystyle{ h(t)=\ln t}\).

ODPOWIEDZ