Matematyka.pl

Dany jest zbiór \(\displaystyle{ A=\left\{ (x, |x|) ; x \in \RR \right\}}\) oraz przestrzenie:
\(\displaystyle{ (A, \theta _{E} \times \theta _{a})}\) (topologia euklidesowa x antydyskretna)
\(\displaystyle{ (A, \theta _{a} \times \theta _{E})}\) (topologia antydyskretna x euklidesowa).
Czy przestrzenie te są homeomorficzne?

Wiem mniej więcej w którą iść stronę, jednak niebardzo to rozumiem. Planowałam uzasadnić 'niehomeomorficzność' za pomocą spójności (pierwsza przestrzeń spójna, druga niespójna), jednak mam z tym niemały problem. Czy można powiedzieć, że druga przestrzeń nie jest spójna, ponieważ da się ją rozłożyć na sumę dwóch domkniętych niepustych rozłącznych podzbiorów? Jak wskazać te podzbiory? Czy może wykorzystać to, że przestrzeń \(\displaystyle{ X \times Y}\) jest spójna, wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzenie \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są spójne?

Z góry dziękuję i proszę o wyrozumiałość

Obie przestrzenie są spójne. Fakt że \(\displaystyle{ X \times Y}\) jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są spójne, jest prawdziwy (pod założeniem niepustości \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\)), ale nie można go tu zastosować, bo \(\displaystyle{ A}\) nie jest produktem dwóch przestrzeni, tylko podprzestrzenią takiego produktu.

Spróbuj zbadać w obu przestrzeniach warunek \(\displaystyle{ \mathrm{T}1}\). Podpowiem, że najpierw warto opisać zbiory otwarte w obu przestrzeniach.

Dziękuję za odpowiedź. Opisałam zbiory otwarte. W pierwszej przestrzeni będą to zbiory postaci \(\displaystyle{ \left\{ (x-\epsilon ,x+\epsilon ) \times \RR \right\}}\), a w drugiej \(\displaystyle{ \left\{ \RR \times (y-\epsilon ,y+\epsilon) \right\}}\)?
Mam jednak problem ze sprawdzeniem \(\displaystyle{ \mathrm{T}1}\). Wydaje mi się, że przestrzeń pierwsza nie spełnia \(\displaystyle{ \mathrm{T}0}\), a druga spełnia. To byłoby podstawą do braku homeomorfizmu, jednak nie jestem przekonana, czy dobrze to oceniłam, ponieważ wspomniał Pan o \(\displaystyle{ \mathrm{T}1}\) (to mój pierwszy raz rozstrzygania aksjomatów na podprzestrzeni produktu, jeśli może to być moim usprawiedliwieniem).
Co do \(\displaystyle{ \mathrm{T}1}\), wydaje mi się, że żadna z przestrzeni go nie spełnia.

monikamonika pisze:Opisałam zbiory otwarte. W pierwszej przestrzeni będą to zbiory postaci \(\displaystyle{ \left\{ (x-\epsilon ,x+\epsilon ) \times R \right\}}\), a w drugiej \(\displaystyle{ \left\{ R \times (y-\epsilon ,y+\epsilon) \right\}}\)?

Niedokładnie. Podane zbiory nie są podzbiorami \(\displaystyle{ A}\), więc nie mogą być otwartymi podzbiorami \(\displaystyle{ A}\). Jeśli wziąć przekroje podanych zbiorów z \(\displaystyle{ A}\), to też niedokładnie - dostaniemy wtedy bazy, a nie wszystkie podzbiory otwarte.

monikamonika pisze:Mam jednak problem ze sprawdzeniem \(\displaystyle{ \mathrm{T}1}\). Wydaje mi się, że przestrzeń pierwsza nie spełnia \(\displaystyle{ \mathrm{T}0}\), a druga spełnia. [...] Co do \(\displaystyle{ \mathrm{T}1}\), wydaje mi się, że żadna z przestrzeni go nie spełnia.

Można sprawdzać zarówno \(\displaystyle{ \mathrm{T}0}\), jak i \(\displaystyle{ \mathrm{T}1}\). W jaki sposób udowodniłaś powyższe przypuszczenia?