Liczba topologii na zbiorze nieskończonym

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1802
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 251 razy

Liczba topologii na zbiorze nieskończonym

Post autor: matmatmm » 4 cze 2018, o 23:56

Mam za zadanie pokazać, że na zbiorze nieskończonym \(\displaystyle{ X}\) istnieje \(\displaystyle{ 2^{2^{|X|}}}\) różnych (niehomeomorficznych) topologii, które są normalne.

Ponoć można to wywnioskować z twierdzenia Hewitta-Marczewskiego-Pondiczery'ego, a dokładniej z następującego wniosku: Dla dowolnej nieskończonej liczby kardynalnej \(\displaystyle{ \mathfrak{m}}\) w zbiorze \(\displaystyle{ 2^{2^{\mathfrak{m}}}\) istnieje zbiór gęsty mocy \(\displaystyle{ \mathfrak{m}}\).

To twierdzenie oraz wniosek są dla mnie jasne, ale nie wiem co dalej. Mam w notatkach z wykładu coś takiego:

\(\displaystyle{ Y\subseteq 2^{2^{\mathfrak{m}}}\), \(\displaystyle{ Y}\)-gęsty.
\(\displaystyle{ Y_x:= Y\cup\{x\}}\)
Każdy zbiór otwarty jest pusty lub do niego należy \(\displaystyle{ x}\).

Nie wiem o co tutaj dokładnie chodzi (bierzemy topologię dziedziczoną z produktu, a potem dodajemy \(\displaystyle{ x}\) i zmieniamy jakoś topologię??).

ODPOWIEDZ