Mam kilka pytań związanych z topologią:
1. Czy przeciwobraz zbioru spójnego przez odwzorowanie ciągłe może mieć nieskończenie wiele składowych spójnych?
Wiem że zbiór spójny ma tylko jedną składową, a obraz zbioru spójnego przez odwzorowanie ciągłe jest spójny, więc w przypadku obrazu to nie jest prawdziwe. Ale jak jest z przeciwobrazem ?
2. Czy zbiory liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych, naturalnych są homeomorficzne gdy zadana jest w nich metryka dyskretna ?
3. Czy zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R} \times \mathbb{Q}}\) jest spójny w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) z metryką naturalną, kolejową, rzeczną ?
4. Czy istnieje podzbiór \(\displaystyle{ \mathbb{ R}^2}\) nieprzeliczalny z indukowaną topologią dyskretną ? Na
\(\displaystyle{ \mathbb{ R }^2}\) jest topologia naturalna.
Czy to nie będzie prosta ? Bo każdy podzbiór prostej jest śladem jakiegoś zbioru otwartego w \(\displaystyle{ \mathbb{ R}^2}\) (jakiegoś koła) ?
5. Dany jest podzbiór \(\displaystyle{ A \subset\mathbb{ R}^2}\) spójny. Czy można tak zmienić metrykę (topologię) w \(\displaystyle{ \mathbb{ R}^2}\) żeby przestał być spójny ? I odwrotnie.
Można ? Bo np \(\displaystyle{ A=[1,3]}\) jest spójny, ale jak wprowadzimy metrykę dyskretną to \(\displaystyle{ A=[1,2] \cup(2,3]}\) i oba te zbiory są rozłączne i domknięte, więc rozgraniczone ?
6. Czy suma rozłączna zbiorów drogowo spójnych może być zbiorem drogowo spójnym ?
7. Dlaczego zwartość i spójność nie są własnościami dziedzicznymi ?
8. Czy przeciwobraz zbioru zwartego przez odwzorowanie domknięte jest zawsze zbiorem zwartym ?
Wydaje mi się że nie, bo odwzorowanie domknięte zachowuje domkniętość zbioru ale może nie zachować ograniczoności zbioru ? A zbiory nieograniczone nie mogą być zwarte.
9. Czy \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) z metryką indukowaną z \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest homeomorficzny z \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) z topologią dyskretną ?
Nie ? Bo w Q z topolgią dyskretną wszystkie zbiory są otwarte, a w Q z metryką indukowaną z R otwarte są te zbiory, które są śladem jakiegoś zbioru otwartego w R - czyli jakiegoś przedziału ?
Pytania spójność/zwartość/homeomorficzność
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Pytania spójność/zwartość/homeomorficzność
A jakiś kontrprzykład?. Czy przeciwobraz zbioru zwartego przez odwzorowanie domknięte jest zawsze zbiorem zwartym ?
9. Ok
Co to znaczy, że własności są dziedziczne?[/7. Dlaczego zwartość i spójność nie są własnościami dziedzicznymi ?
Może zacznij od odpowiedzenia sobie na pytanie, czy suma rozłączna zbiorów spójnych może być spójna.[/Czy suma rozłączna zbiorów drogowo spójnych może być zbiorem drogowo spójnym ?
5. Ok, ale brakuje ścisłego uzasadnienia. ty to pokazałeś tylko w przypadku konkretnego \(\displaystyle{ A}\) ,a potrzebne jest ogólne uzasadnienie.
Spróbuj sam zrobić metrykę naturalną.3. Czy zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R} \times \mathbb{Q} jest spójny w \mathbb{R}^2}\)z metryką naturalną, kolejową, rzeczną ?
Zastanów się czy prawdą jest, że dwie przestrzenie dyskretne \(\displaystyle{ X,Y}\) są homeomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ |Y| = |X|}\).2. Czy zbiory liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych, naturalnych są homeomorficzne gdy zadana jest w nich metryka dyskretna ?
Nie. Wskazówka : dwa naleśniki nałożóne na siebie.1. Czy przeciwobraz zbioru spójnego przez odwzorowanie ciągłe może mieć nieskończenie wiele składowych spójnych?
Wiem że zbiór spójny ma tylko jedną składową, a obraz zbioru spójnego przez odwzorowanie ciągłe jest spójny, więc w przypadku obrazu to nie jest prawdziwe. Ale jak jest z przeciwobrazem ?
A czy ta prosta ma topologiędyskretną?. Czy istnieje podzbiór mathbb{ R}^2 nieprzeliczalny z indukowaną topologią dyskretną ? Na
mathbb{ R }^2 jest topologia naturalna.
Czy to nie będzie prosta ? Bo każdy podzbiór prostej jest śladem jakiegoś zbioru otwartego w mathbb{ R}^2 (jakiegoś koła) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 64
- Rejestracja: 7 lut 2015, o 17:37
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 31 razy
Re: Pytania spójność/zwartość/homeomorficzność
Funkcja tangens z \(\displaystyle{ \mathbb{ R}}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{ R}}\), przy czym w punktach \(\displaystyle{ \frac{k \pi }{2}}\) przyjmuje zero. Wtedy np \(\displaystyle{ f(left[ 0, frac{pi}{2}A jakiś kontrprzykład?
ight])= left[ 0,+ infty
ight)}\) i wydaje mi się że to będzie odwzorowanie domknięte.
To znaczy że jeżeli przestrzeń X ma jakąś własność P i Y jest podprzestrzenią X, to Y też ma własność P.Co to znaczy, że własności są dziedziczne?
Wiem, że podzbiór zbioru zwartego/spójnego nie musi być zwarty/spójny tylko dlaczego ?
Np \(\displaystyle{ \left( 0,2\right] \cup \left( 2,3\right)=\left( 0,3\right)}\)Może zacznij od odpowiedzenia sobie na pytanie, czy suma rozłączna zbiorów spójnych może być spójna.
suma dwóch rozłącznych zbiorów spójnych dała zbiór spójny
Czy przejście na metrykę dyskretną będzie działało dla każdego zbioru A który ma więcej niż jeden element? Bo zbiór jednoelementowy zawsze jest spójny. A jeżeli zbiór ma więcej niż jeden element to można go przedstawić w postaci sumy dwóch zbiorów rozłącznych, a w metryce dyskretnej one będą rozgraniczone.Ok, ale brakuje ścisłego uzasadnienia. ty to pokazałeś tylko w przypadku konkretnego A ,a potrzebne jest ogólne uzasadnienie.
Każdy jej podzbiór jest zbiorem otwartym, więc tak.A czy ta prosta ma topologiędyskretną?
Niestety nic mi to nie mówi :/ I do czego odnosi się to nie ? Do mojego rozumowania z obrazem czy do tego że to nie jest prawdziwe dla przeciwobrazu ?Wskazówka : dwa naleśniki nałożóne na siebie.
Nad resztą jeszcze myślę
-- 4 cze 2018, o 18:14 --
Chyba prawda. Bo jeżeli weźmiemy dowolną funkcję f z X w Y to będzie ona ciągła, bo przeciwobraz każdego zbioru otwartego będzie otwarty. Podobnie funkcja odwrotna do f też będzie ciągła.Zastanów się czy prawdą jest, że dwie przestrzenie dyskretne X,Y są homeomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy |Y| = |X|.
Żeby f była homeomorfizmem brakuje jeszcze bijektywności. A bijekcję między X i Y stworzymy wtedy i tylko wtedy gdy są one równoliczne.
Czyli zbiory liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych z metryką dyskretną będę homeomorficzne,bo są przeliczalne ale zbiór liczb rzeczywistych nie będzie homeomorficzny z żadnym z pozostałych, bo jest nieprzeliczalny.
Może trochę głupie pytanie, ale tak jest zawsze co nie? W sensie że jeżeli dwie przestrzenie nie są równoliczne to nie mogą być homeomorficzne ?
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Pytania spójność/zwartość/homeomorficzność
Tak określona funkcja nie będzie ciągła.Funkcja tangens
Umiesz podać kontrprzykład?Wiem, że podzbiór zbioru zwartego/spójnego nie musi być zwarty/spójny tylko dlaczego ?
Nie dała. Suma spójna mówi coś też o tym jaką masz topologię. Topologia \(\displaystyle{ \left( 0,2\right] \cup \left( 2,3\right)}\) nie jest równa euklidesowej topologii na \(\displaystyle{ \left( 0,3\right)}\)Np left( 0,2
ight] cup left( 2,3
ight)=left( 0,3
ight)
suma dwóch rozłącznych zbiorów spójnych dała zbiór spójny
To uzasadnij ściśle, że pojedynczy punkt jest w tej topologii otwarty.Każdy jej podzbiór jest zbiorem otwartym, więc tak.
Sorry, miało być, że tak (tzn może mieć rzeciwobraz o nieskończonej sumie składowych spójnych).Niestety nic mi to nie mówi :/ I do czego odnosi się to nie ? Do mojego rozumowania z obrazem czy do tego że to nie jest prawdziwe dla przeciwobrazu ?
To ja proponujętakie podejście: przekonaj się, że suma rozłączna dwóch spójnych przestrzeni ma dwie składowe spójności. Uogólnij to na przypadek dowolnej (w szczególności nieskończonej) sumy rozłącznej. Twoim przykładem będzie nieskończona suma rozłączna kopii przestrzeni spójnych wraz z odwzorowaniem, które będzie równe ?
OKChyba prawda. Bo jeżeli weźmiemy dowolną funkcję f z X w Y to będzie ona ciągła, bo przeciwobraz każdego zbioru otwartego będzie otwarty. Podobnie funkcja odwrotna do f też będzie ciągła.
Żeby f była homeomorfizmem brakuje jeszcze bijektywności. A bijekcję między X i Y stworzymy wtedy i tylko wtedy gdy są one równoliczne.
Czyli zbiory liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych z metryką dyskretną będę homeomorficzne,bo są przeliczalne ale zbiór liczb rzeczywistych nie będzie homeomorficzny z żadnym z pozostałych, bo jest nieprzeliczalny.
TakMoże trochę głupie pytanie, ale tak jest zawsze co nie? W sensie że jeżeli dwie przestrzenie nie są równoliczne to nie mogą być homeomorficzne ?
-
- Użytkownik
- Posty: 64
- Rejestracja: 7 lut 2015, o 17:37
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 31 razy
Re: Pytania spójność/zwartość/homeomorficzność
Ale nie musi być. Pytanie było o odwzorowanie domknięte, nie ciągłe.Tak określona funkcja nie będzie ciągła.
\(\displaystyle{ \left( 1,2\right) \subset \left[ 1,2\right]}\) ten po prawej jest zwarty bo jest domknięty i ograniczony, a ten po lewej nie jest zwarty bo nie jest domknięty.Umiesz podać kontrprzykład?
\(\displaystyle{ \left( 1,2\right) \cup \left( 3,4\right) \subset \left( 1,4\right)}\) ten po prawej jest spójny, ten po lewej już nie
Nie jest. Mój błąd. Przecięcie koła z prostą zawsze da przedział, nie dostaniemy w ten sposób punktu. Czyli ten przykład odpada :/ Moje pomysły się skończyłyTo uzasadnij ściśle, że pojedynczy punkt jest w tej topologii otwarty.
Nie dała. Suma spójna mówi coś też o tym jaką masz topologię. Topologia \(\displaystyle{ \left( 0,2\right] \cup \left( 2,3\right)}\) nie jest równa euklidesowej topologii na \(\displaystyle{ \left( 0,3\right)}\)
Mea culpa. Byłam przekonana że suma rozłączna to po prostu suma zbiorów rozłącznych ... jednak nie.
A czy to jest dobrze ? (odnośnie 5)Czy przejście na metrykę dyskretną będzie działało dla każdego zbioru A który ma więcej niż jeden element? Bo zbiór jednoelementowy zawsze jest spójny. A jeżeli zbiór ma więcej niż jeden element to można go przedstawić w postaci sumy dwóch zbiorów rozłącznych, a w metryce dyskretnej one będą rozgraniczone.
Spróbuję jeszcze pomyśleć nad tymi sumami rozłącznymi.
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Pytania spójność/zwartość/homeomorficzność
Zależy od konwencji. Proponuję poszukać kontrprzykłądy, gdy f jest dodatkowo ciągła.Ale nie musi być. Pytanie było o odwzorowanie domknięte, nie ciągłe.
Tak.Czy przejście na metrykę dyskretną będzie działało dla każdego zbioru A który ma więcej niż jeden element? Bo zbiór jednoelementowy zawsze jest spójny. A jeżeli zbiór ma więcej niż jeden element to można go przedstawić w postaci sumy dwóch zbiorów rozłącznych, a w metryce dyskretnej one będą rozgraniczone.
Załóżmy, taki zbiór \(\displaystyle{ X}\) istnieje, wówczas dla każdego \(\displaystyle{ x_0 \in X}\) istnieje \(\displaystyle{ \epsilon_0 >0}\) taki, że \(\displaystyle{ X \cap B(x_0,\epsilon_0) = \left\{ x_0\right\}}\)Nie jest. Mój błąd. Przecięcie koła z prostą zawsze da przedział, nie dostaniemy w ten sposób punktu. Czyli ten przykład odpada :/ Moje pomysły się skończyły
Czyli masz nieprzeliczalną kolekcję rozłącznych kul. W każdej kuli znajdziesz niepusty zbiór liczb wymiernych (te zbiory są rozłączne dla różnych kul. Wobec tego masz odwzorowanie \(\displaystyle{ f: A \subset \QQ \rightarrow X}\), które elementowui \(\displaystyle{ a \in A}\) przyporządkowuje środek kuli, wk ótrej się \(\displaystyle{ a}\) znajduje. To odwzorownie jest na. Sprzeczność.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Pytania spójność/zwartość/homeomorficzność
Te kule nie muszą być rozłączne, ale można dwukrotnie zmniejszyć ich promienie, to wtedy będą.leg14 pisze:Załóżmy, taki zbiór \(\displaystyle{ X}\) istnieje, wówczas dla każdego \(\displaystyle{ x_0 \in X}\) istnieje \(\displaystyle{ \epsilon_0 >0}\) taki, że \(\displaystyle{ X \cap B(x_0,\epsilon_0) = \left\{ x_0\right\}}\)
Czyli masz nieprzeliczalną kolekcję rozłącznych kul.