Pytania spójność/zwartość/homeomorficzność

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Maslow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 7 lut 2015, o 17:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 31 razy

Pytania spójność/zwartość/homeomorficzność

Post autor: Maslow » 4 cze 2018, o 16:49

Mam kilka pytań związanych z topologią:
1. Czy przeciwobraz zbioru spójnego przez odwzorowanie ciągłe może mieć nieskończenie wiele składowych spójnych?
Wiem że zbiór spójny ma tylko jedną składową, a obraz zbioru spójnego przez odwzorowanie ciągłe jest spójny, więc w przypadku obrazu to nie jest prawdziwe. Ale jak jest z przeciwobrazem ?
2. Czy zbiory liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych, naturalnych są homeomorficzne gdy zadana jest w nich metryka dyskretna ?
3. Czy zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R} \times \mathbb{Q}}\) jest spójny w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) z metryką naturalną, kolejową, rzeczną ?
4. Czy istnieje podzbiór \(\displaystyle{ \mathbb{ R}^2}\) nieprzeliczalny z indukowaną topologią dyskretną ? Na
\(\displaystyle{ \mathbb{ R }^2}\) jest topologia naturalna.
Czy to nie będzie prosta ? Bo każdy podzbiór prostej jest śladem jakiegoś zbioru otwartego w \(\displaystyle{ \mathbb{ R}^2}\) (jakiegoś koła) ?
5. Dany jest podzbiór \(\displaystyle{ A \subset\mathbb{ R}^2}\) spójny. Czy można tak zmienić metrykę (topologię) w \(\displaystyle{ \mathbb{ R}^2}\) żeby przestał być spójny ? I odwrotnie.
Można ? Bo np \(\displaystyle{ A=[1,3]}\) jest spójny, ale jak wprowadzimy metrykę dyskretną to \(\displaystyle{ A=[1,2] \cup(2,3]}\) i oba te zbiory są rozłączne i domknięte, więc rozgraniczone ?
6. Czy suma rozłączna zbiorów drogowo spójnych może być zbiorem drogowo spójnym ?
7. Dlaczego zwartość i spójność nie są własnościami dziedzicznymi ?
8. Czy przeciwobraz zbioru zwartego przez odwzorowanie domknięte jest zawsze zbiorem zwartym ?
Wydaje mi się że nie, bo odwzorowanie domknięte zachowuje domkniętość zbioru ale może nie zachować ograniczoności zbioru ? A zbiory nieograniczone nie mogą być zwarte.
9. Czy \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) z metryką indukowaną z \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest homeomorficzny z \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) z topologią dyskretną ?
Nie ? Bo w Q z topolgią dyskretną wszystkie zbiory są otwarte, a w Q z metryką indukowaną z R otwarte są te zbiory, które są śladem jakiegoś zbioru otwartego w R - czyli jakiegoś przedziału ?

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3121
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 152 razy
Pomógł: 475 razy

Pytania spójność/zwartość/homeomorficzność

Post autor: leg14 » 4 cze 2018, o 17:09

. Czy przeciwobraz zbioru zwartego przez odwzorowanie domknięte jest zawsze zbiorem zwartym ?
A jakiś kontrprzykład?
9. Ok
[/7. Dlaczego zwartość i spójność nie są własnościami dziedzicznymi ?
Co to znaczy, że własności są dziedziczne?
[/Czy suma rozłączna zbiorów drogowo spójnych może być zbiorem drogowo spójnym ?
Może zacznij od odpowiedzenia sobie na pytanie, czy suma rozłączna zbiorów spójnych może być spójna.
5. Ok, ale brakuje ścisłego uzasadnienia. ty to pokazałeś tylko w przypadku konkretnego \(\displaystyle{ A}\) ,a potrzebne jest ogólne uzasadnienie.
3. Czy zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R} \times \mathbb{Q} jest spójny w \mathbb{R}^2}\)z metryką naturalną, kolejową, rzeczną ?
Spróbuj sam zrobić metrykę naturalną.
2. Czy zbiory liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych, naturalnych są homeomorficzne gdy zadana jest w nich metryka dyskretna ?
Zastanów się czy prawdą jest, że dwie przestrzenie dyskretne \(\displaystyle{ X,Y}\) są homeomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ |Y| = |X|}\).
1. Czy przeciwobraz zbioru spójnego przez odwzorowanie ciągłe może mieć nieskończenie wiele składowych spójnych?
Wiem że zbiór spójny ma tylko jedną składową, a obraz zbioru spójnego przez odwzorowanie ciągłe jest spójny, więc w przypadku obrazu to nie jest prawdziwe. Ale jak jest z przeciwobrazem ?
Nie. Wskazówka : dwa naleśniki nałożóne na siebie.
. Czy istnieje podzbiór mathbb{ R}^2 nieprzeliczalny z indukowaną topologią dyskretną ? Na
mathbb{ R }^2 jest topologia naturalna.
Czy to nie będzie prosta ? Bo każdy podzbiór prostej jest śladem jakiegoś zbioru otwartego w mathbb{ R}^2 (jakiegoś koła) ?
A czy ta prosta ma topologiędyskretną?

Maslow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 7 lut 2015, o 17:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 31 razy

Re: Pytania spójność/zwartość/homeomorficzność

Post autor: Maslow » 4 cze 2018, o 17:55

A jakiś kontrprzykład?
Funkcja tangens z \(\displaystyle{ \mathbb{ R}}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{ R}}\), przy czym w punktach \(\displaystyle{ \frac{k \pi }{2}}\) przyjmuje zero. Wtedy np \(\displaystyle{ f(left[ 0, frac{pi}{2}
ight])= left[ 0,+ infty
ight)}\)
i wydaje mi się że to będzie odwzorowanie domknięte.
Co to znaczy, że własności są dziedziczne?
To znaczy że jeżeli przestrzeń X ma jakąś własność P i Y jest podprzestrzenią X, to Y też ma własność P.
Wiem, że podzbiór zbioru zwartego/spójnego nie musi być zwarty/spójny tylko dlaczego ?
Może zacznij od odpowiedzenia sobie na pytanie, czy suma rozłączna zbiorów spójnych może być spójna.
Np \(\displaystyle{ \left( 0,2\right] \cup \left( 2,3\right)=\left( 0,3\right)}\)
suma dwóch rozłącznych zbiorów spójnych dała zbiór spójny
Ok, ale brakuje ścisłego uzasadnienia. ty to pokazałeś tylko w przypadku konkretnego A ,a potrzebne jest ogólne uzasadnienie.
Czy przejście na metrykę dyskretną będzie działało dla każdego zbioru A który ma więcej niż jeden element? Bo zbiór jednoelementowy zawsze jest spójny. A jeżeli zbiór ma więcej niż jeden element to można go przedstawić w postaci sumy dwóch zbiorów rozłącznych, a w metryce dyskretnej one będą rozgraniczone.
A czy ta prosta ma topologiędyskretną?
Każdy jej podzbiór jest zbiorem otwartym, więc tak.
Wskazówka : dwa naleśniki nałożóne na siebie.
Niestety nic mi to nie mówi :/ I do czego odnosi się to nie ? Do mojego rozumowania z obrazem czy do tego że to nie jest prawdziwe dla przeciwobrazu ?

Nad resztą jeszcze myślę

-- 4 cze 2018, o 18:14 --
Zastanów się czy prawdą jest, że dwie przestrzenie dyskretne X,Y są homeomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy |Y| = |X|.
Chyba prawda. Bo jeżeli weźmiemy dowolną funkcję f z X w Y to będzie ona ciągła, bo przeciwobraz każdego zbioru otwartego będzie otwarty. Podobnie funkcja odwrotna do f też będzie ciągła.
Żeby f była homeomorfizmem brakuje jeszcze bijektywności. A bijekcję między X i Y stworzymy wtedy i tylko wtedy gdy są one równoliczne.
Czyli zbiory liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych z metryką dyskretną będę homeomorficzne,bo są przeliczalne ale zbiór liczb rzeczywistych nie będzie homeomorficzny z żadnym z pozostałych, bo jest nieprzeliczalny.

Może trochę głupie pytanie, ale tak jest zawsze co nie? W sensie że jeżeli dwie przestrzenie nie są równoliczne to nie mogą być homeomorficzne ?

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3121
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 152 razy
Pomógł: 475 razy

Pytania spójność/zwartość/homeomorficzność

Post autor: leg14 » 4 cze 2018, o 19:24

Funkcja tangens
Tak określona funkcja nie będzie ciągła.
Wiem, że podzbiór zbioru zwartego/spójnego nie musi być zwarty/spójny tylko dlaczego ?
Umiesz podać kontrprzykład?
Np left( 0,2
ight] cup left( 2,3
ight)=left( 0,3
ight)
suma dwóch rozłącznych zbiorów spójnych dała zbiór spójny
Nie dała. Suma spójna mówi coś też o tym jaką masz topologię. Topologia \(\displaystyle{ \left( 0,2\right] \cup \left( 2,3\right)}\) nie jest równa euklidesowej topologii na \(\displaystyle{ \left( 0,3\right)}\)
Każdy jej podzbiór jest zbiorem otwartym, więc tak.
To uzasadnij ściśle, że pojedynczy punkt jest w tej topologii otwarty.
Niestety nic mi to nie mówi :/ I do czego odnosi się to nie ? Do mojego rozumowania z obrazem czy do tego że to nie jest prawdziwe dla przeciwobrazu ?
Sorry, miało być, że tak (tzn może mieć rzeciwobraz o nieskończonej sumie składowych spójnych).
To ja proponujętakie podejście: przekonaj się, że suma rozłączna dwóch spójnych przestrzeni ma dwie składowe spójności. Uogólnij to na przypadek dowolnej (w szczególności nieskończonej) sumy rozłącznej. Twoim przykładem będzie nieskończona suma rozłączna kopii przestrzeni spójnych wraz z odwzorowaniem, które będzie równe ?
Chyba prawda. Bo jeżeli weźmiemy dowolną funkcję f z X w Y to będzie ona ciągła, bo przeciwobraz każdego zbioru otwartego będzie otwarty. Podobnie funkcja odwrotna do f też będzie ciągła.
Żeby f była homeomorfizmem brakuje jeszcze bijektywności. A bijekcję między X i Y stworzymy wtedy i tylko wtedy gdy są one równoliczne.
Czyli zbiory liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych z metryką dyskretną będę homeomorficzne,bo są przeliczalne ale zbiór liczb rzeczywistych nie będzie homeomorficzny z żadnym z pozostałych, bo jest nieprzeliczalny.
OK
Może trochę głupie pytanie, ale tak jest zawsze co nie? W sensie że jeżeli dwie przestrzenie nie są równoliczne to nie mogą być homeomorficzne ?
Tak

Maslow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 7 lut 2015, o 17:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 31 razy

Re: Pytania spójność/zwartość/homeomorficzność

Post autor: Maslow » 4 cze 2018, o 20:21

Tak określona funkcja nie będzie ciągła.
Ale nie musi być. Pytanie było o odwzorowanie domknięte, nie ciągłe.
Umiesz podać kontrprzykład?
\(\displaystyle{ \left( 1,2\right) \subset \left[ 1,2\right]}\) ten po prawej jest zwarty bo jest domknięty i ograniczony, a ten po lewej nie jest zwarty bo nie jest domknięty.

\(\displaystyle{ \left( 1,2\right) \cup \left( 3,4\right) \subset \left( 1,4\right)}\) ten po prawej jest spójny, ten po lewej już nie
To uzasadnij ściśle, że pojedynczy punkt jest w tej topologii otwarty.
Nie jest. Mój błąd. Przecięcie koła z prostą zawsze da przedział, nie dostaniemy w ten sposób punktu. Czyli ten przykład odpada :/ Moje pomysły się skończyły
Nie dała. Suma spójna mówi coś też o tym jaką masz topologię. Topologia \(\displaystyle{ \left( 0,2\right] \cup \left( 2,3\right)}\) nie jest równa euklidesowej topologii na \(\displaystyle{ \left( 0,3\right)}\)

Mea culpa. Byłam przekonana że suma rozłączna to po prostu suma zbiorów rozłącznych ... jednak nie.
Czy przejście na metrykę dyskretną będzie działało dla każdego zbioru A który ma więcej niż jeden element? Bo zbiór jednoelementowy zawsze jest spójny. A jeżeli zbiór ma więcej niż jeden element to można go przedstawić w postaci sumy dwóch zbiorów rozłącznych, a w metryce dyskretnej one będą rozgraniczone.
A czy to jest dobrze ? (odnośnie 5)

Spróbuję jeszcze pomyśleć nad tymi sumami rozłącznymi.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3121
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 152 razy
Pomógł: 475 razy

Pytania spójność/zwartość/homeomorficzność

Post autor: leg14 » 4 cze 2018, o 20:49

Ale nie musi być. Pytanie było o odwzorowanie domknięte, nie ciągłe.
Zależy od konwencji. Proponuję poszukać kontrprzykłądy, gdy f jest dodatkowo ciągła.
Czy przejście na metrykę dyskretną będzie działało dla każdego zbioru A który ma więcej niż jeden element? Bo zbiór jednoelementowy zawsze jest spójny. A jeżeli zbiór ma więcej niż jeden element to można go przedstawić w postaci sumy dwóch zbiorów rozłącznych, a w metryce dyskretnej one będą rozgraniczone.
Tak.
Nie jest. Mój błąd. Przecięcie koła z prostą zawsze da przedział, nie dostaniemy w ten sposób punktu. Czyli ten przykład odpada :/ Moje pomysły się skończyły
Załóżmy, taki zbiór \(\displaystyle{ X}\) istnieje, wówczas dla każdego \(\displaystyle{ x_0 \in X}\) istnieje \(\displaystyle{ \epsilon_0 >0}\) taki, że \(\displaystyle{ X \cap B(x_0,\epsilon_0) = \left\{ x_0\right\}}\)
Czyli masz nieprzeliczalną kolekcję rozłącznych kul. W każdej kuli znajdziesz niepusty zbiór liczb wymiernych (te zbiory są rozłączne dla różnych kul. Wobec tego masz odwzorowanie \(\displaystyle{ f: A \subset \QQ \rightarrow X}\), które elementowui \(\displaystyle{ a \in A}\) przyporządkowuje środek kuli, wk ótrej się \(\displaystyle{ a}\) znajduje. To odwzorownie jest na. Sprzeczność.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8605
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1808 razy

Pytania spójność/zwartość/homeomorficzność

Post autor: Dasio11 » 4 cze 2018, o 22:46

leg14 pisze:Załóżmy, taki zbiór \(\displaystyle{ X}\) istnieje, wówczas dla każdego \(\displaystyle{ x_0 \in X}\) istnieje \(\displaystyle{ \epsilon_0 >0}\) taki, że \(\displaystyle{ X \cap B(x_0,\epsilon_0) = \left\{ x_0\right\}}\)
Czyli masz nieprzeliczalną kolekcję rozłącznych kul.
Te kule nie muszą być rozłączne, ale można dwukrotnie zmniejszyć ich promienie, to wtedy będą.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3121
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 152 razy
Pomógł: 475 razy

Re: Pytania spójność/zwartość/homeomorficzność

Post autor: leg14 » 8 cze 2018, o 23:27

Dasio11, dzięki

ODPOWIEDZ