Homeomorfizm - kula jednostkowa i trójkąt
: 25 maja 2018, o 09:39
Jak wykazać, że istnieje homeomorfizm przekształcający dowolny trójkąt na kulę jednostkową?
Skonstruuj go - bez straty ogólności niech punkt \(\displaystyle{ 0}\) leży we wnętrzu trójkąta. Wypuszczamy półprostą z \(\displaystyle{ 0}\) w dowolnym kierunku. Na tej półprostej rozciągamy fragment trójkąta w taki sposób, aby pokrył się z fragmentem kuli na tej półprostej.
Opis jest dość prosty, ale wzór będzie dość skomplikowany. Niech \(\displaystyle{ r}\) oznacza punkt przecięcia brzegu trójkąta z ustaloną półprostą. Wtedy ten punkt musi przejść na punkt o normie \(\displaystyle{ 1}\), tj.
\(\displaystyle{ r \mapsto \frac{r}{\|r\|}}\)
i w takim samym stosunku należy przekształcić pozostałe punkty, tj. dla punktu \(\displaystyle{ x}\) na trójkącie przerzucamy
\(\displaystyle{ x \mapsto \frac{x}{\|r\|}.}\)
Odwzorowanie oczywiście jest bijekcją na każdej półprostej, więc z rozłączności półprostych, jest bijekcją z trójkąta na kulę. Trzeba się chwilę pochylić nad ciągłością -- oczywiście jest ona zachowana na każdej półprostej, trzeba jedynie zbadać co się dzieje, na bliskich półprostych.
-- 25 maja 2018, o 09:54 --
Można pokusić się o dowód czegoś więcej. Dowolny wypukły, zwarty podzbiór o niepustym wnętrzu w \(\displaystyle{ \RR^n}\) jest homeomorficzny z kulą jednostkową -- dowód w gruncie rzeczy jest taki sam, jak dla trójkąta