Matematyka.pl

Wykazać, że przestrzeń metryczna i ośrodkowa spełnia II aksjomat przeliczalności.

Dowód:
Jeżeli przestrzeń metryczna \(\displaystyle{ (X,d)}\) jest ośrodkowa z przeliczalnym zbiorem gęstym \(\displaystyle{ \left\{ p_{n} | n \in N\right\}}\), to rodzina:

\(\displaystyle{ B=\left\{ K(p_{n}, q), n \in N, q \in Q\right\}}\)

jest przeliczalną bazą topologii \(\displaystyle{ \tau_{d}}\).

To że \(\displaystyle{ B}\) jest przeliczalna jest oczywiste, problem mam z tym, żeby udowodnić, że to baza. Tzn fakt że należy do topologii jest oczywisty bo to suma zbiorów otwartych, ale nie wiem, jak formalnie wykazać że każdy zbiór da się z tych kul wysumować...

Będę wdzięczna za każdą pomoc i wskazówkę

Wystarczy sprawdzić, że jeżeli \(\displaystyle{ B(x, r)}\) jest pewną kulą otwartą w \(\displaystyle{ X}\), to \(\displaystyle{ xin B(p_n, q)subset B(x,r)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) oraz liczby wymiernej \(\displaystyle{ q}\).

Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie tak dobrane by \(\displaystyle{ d(x,p_n) < q}\), gdzie \(\displaystyle{ q}\) jest liczbą wymierną z przedziału \(\displaystyle{ (0, r/2)}\). Jeżeli \(\displaystyle{ yin B(p_n, q)}\), tzn. \(\displaystyle{ d(p_n,y) <q}\), to mamy też

• \(\displaystyle{ d(x,y)leqslant d(x,p_n) + d(p_n, y) < q + q < r/2 + r/2 = r,}\)

tj. \(\displaystyle{ yin B(x,r)}\). Wykazaliśmy więc interesują nas inkluzję kul.

Zobacz też: 340685.htm

Dziękuję!