II aksjomat przeliczalności w przestrzeni metrycznej.

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
tangerine11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 206
Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Mielec
Podziękował: 14 razy

II aksjomat przeliczalności w przestrzeni metrycznej.

Post autor: tangerine11 » 18 maja 2018, o 21:03

Wykazać, że przestrzeń metryczna i ośrodkowa spełnia II aksjomat przeliczalności.

Dowód:
Jeżeli przestrzeń metryczna \(\displaystyle{ (X,d)}\) jest ośrodkowa z przeliczalnym zbiorem gęstym \(\displaystyle{ \left\{ p_{n} | n \in N\right\}}\), to rodzina:

\(\displaystyle{ B=\left\{ K(p_{n}, q), n \in N, q \in Q\right\}}\)

jest przeliczalną bazą topologii \(\displaystyle{ \tau_{d}}\).

To że \(\displaystyle{ B}\) jest przeliczalna jest oczywiste, problem mam z tym, żeby udowodnić, że to baza. Tzn fakt że należy do topologii jest oczywisty bo to suma zbiorów otwartych, ale nie wiem, jak formalnie wykazać że każdy zbiór da się z tych kul wysumować...

Będę wdzięczna za każdą pomoc i wskazówkę

Awatar użytkownika
Spektralny
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3964
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 926 razy

Re: II aksjomat przeliczalności w przestrzeni metrycznej.

Post autor: Spektralny » 18 maja 2018, o 21:25

Wystarczy sprawdzić, że jeżeli \(\displaystyle{ B(x, r)}\) jest pewną kulą otwartą w \(\displaystyle{ X}\), to \(\displaystyle{ xin B(p_n, q)subset B(x,r)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) oraz liczby wymiernej \(\displaystyle{ q}\).

Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie tak dobrane by \(\displaystyle{ d(x,p_n) < q}\), gdzie \(\displaystyle{ q}\) jest liczbą wymierną z przedziału \(\displaystyle{ (0, r/2)}\). Jeżeli \(\displaystyle{ yin B(p_n, q)}\), tzn. \(\displaystyle{ d(p_n,y) <q}\), to mamy też
  • \(\displaystyle{ d(x,y)leqslant d(x,p_n) + d(p_n, y) < q + q < r/2 + r/2 = r,}\)
tj. \(\displaystyle{ yin B(x,r)}\). Wykazaliśmy więc interesują nas inkluzję kul.

Zobacz też: 340685.htm

tangerine11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 206
Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Mielec
Podziękował: 14 razy

Re: II aksjomat przeliczalności w przestrzeni metrycznej.

Post autor: tangerine11 » 19 maja 2018, o 10:39

Dziękuję!

ODPOWIEDZ