Z góry przepraszam jak w złym dziale, ale nie do końca mogłem się doszukać odpowiedniego miejsca.
Mamy zbiór \(\displaystyle{ D = \RR \times \NN}\) w \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) , domknięty, to szukamy dopełnienia naszego zboru, czyli \(\displaystyle{ \RR^{2} \setminus D = \emptyset \times (\RR \setminus \NN)}\)
Pytanie czy dobrze myślę o dopełnieniu, i czy prawdą jest że zbiór domknięty?
Zbiór zwarty, otwarty, domknięty
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Zbiór zwarty, otwarty, domknięty
Jak rozumiem, rozważamy tu metrykę euklidesową.
Weźmy dowolny punkt \(\displaystyle{ (x,y)}\) należący do \(\displaystyle{ \RR^2\setminus D}\). To oznacza, że istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\), iż \(\displaystyle{ n<y<n+1}\). Niech \(\displaystyle{ r=\frac 1 2\min\left\{y-n, n+1-y\right\}}\). Wówczas kula (tutaj koło bez brzegu) o środku w \(\displaystyle{ (x,y)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\) zawiera się w \(\displaystyle{ \RR^2\setminus D}\).
Najłatwiej to widać z rysunku, ale można to również przerachować, tylko mi się nie chce.
Zatem \(\displaystyle{ D}\) jest domknięty. Nie jest on zwarty, ponieważ w przestrzeniach euklidesowych zbiór zwarty to domknięty i ograniczony, a zbiór \(\displaystyle{ D}\) w oczywisty sposób nie jest ograniczony.-- 30 kwi 2018, o 12:27 --Chyba korzystałeś tam z czegoś takiego:
\(\displaystyle{ A\times B\setminus C\times D=(A\setminus C)\times (B\setminus D)}\). Niestety jest to kompletna bzdura, powtórz może trochę ze wstępu do matematyki (czy tam podstaw logiki i teorii mnogości, jak zwał, tak zwał), bo bez tego zagadnienia topologiczne (nawet te łatwiejsze) będą nie do zrozumienia.
Oj, tak to na pewno nie. Przecież \(\displaystyle{ \RR^2\setminus D}\) zdecydowanie nie jest zbiorem pustym, zaś \(\displaystyle{ \emptyset \times (\RR \setminus \NN))=\emptyset}\).Czyli \(\displaystyle{ \RR^{2} \setminus D = \emptyset \times (\RR \setminus \NN))}\)
Weźmy dowolny punkt \(\displaystyle{ (x,y)}\) należący do \(\displaystyle{ \RR^2\setminus D}\). To oznacza, że istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\), iż \(\displaystyle{ n<y<n+1}\). Niech \(\displaystyle{ r=\frac 1 2\min\left\{y-n, n+1-y\right\}}\). Wówczas kula (tutaj koło bez brzegu) o środku w \(\displaystyle{ (x,y)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\) zawiera się w \(\displaystyle{ \RR^2\setminus D}\).
Najłatwiej to widać z rysunku, ale można to również przerachować, tylko mi się nie chce.
Zatem \(\displaystyle{ D}\) jest domknięty. Nie jest on zwarty, ponieważ w przestrzeniach euklidesowych zbiór zwarty to domknięty i ograniczony, a zbiór \(\displaystyle{ D}\) w oczywisty sposób nie jest ograniczony.-- 30 kwi 2018, o 12:27 --Chyba korzystałeś tam z czegoś takiego:
\(\displaystyle{ A\times B\setminus C\times D=(A\setminus C)\times (B\setminus D)}\). Niestety jest to kompletna bzdura, powtórz może trochę ze wstępu do matematyki (czy tam podstaw logiki i teorii mnogości, jak zwał, tak zwał), bo bez tego zagadnienia topologiczne (nawet te łatwiejsze) będą nie do zrozumienia.
-
aolo23
- Użytkownik
- Posty: 307
- Rejestracja: 5 sty 2016, o 13:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 118 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Zbiór zwarty,otwarty,domknięty
Masz rację zbiór D to zwyczajnie \(\displaystyle{ \RR \times (\RR \setminus \NN)}\)-- 5 maja 2018, o 17:05 --Tak może trochę spamuję, ale tak inaczej mówiąc jeśli szukamy czy zbiór jest otwarty/domknięty (bo praktycznie bada się to samo, tylko na innym zbiorze), to szukamy czy dla każdego naszego punktu zbioru potrafimy znaleźć takie koło/kulę (zależy od przestrzeni) o jakimś promieniu \(\displaystyle{ t}\), takim by nasza kula/koło "nie wykraczała" poza zbiór. Można tak to rozumieć