Witam, mam pewien problem, otóż nie wiem jak udowodnić pewną zależność:
Wykazać, że w metryce rzeka istnieją dwie różne kule otwarte o tej własności, że kula o większym promieniu jest podzbiorem właściwym kuli o mniejszym promieniu.
Będę wdzięczny za pomoc
Kula w metryce "rzeka"
-
miki110926
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 15 kwie 2018, o 19:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
-
matmatmm
- Użytkownik
- Posty: 2283
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Kula w metryce "rzeka"
Ja myślę, że jest to niemożliwe. Na poparcie mojej tezy:
Zakładam, że rzeka płynie na osi \(\displaystyle{ OX}\). Dla \(\displaystyle{ A\subset\RR^2}\) przez \(\displaystyle{ A_x}\) oznaczam cięcie pionowe, czyli \(\displaystyle{ \{y\in\RR:(x,y)\in A\}}\).
Jeśli \(\displaystyle{ (x,y)\in \RR^2}\) oraz \(\displaystyle{ r>0}\), to dowolne cięcie pionowe kuli \(\displaystyle{ K((x,y),r)}\) jest przedziałem o długości \(\displaystyle{ \le 2r}\) (może być zbiorem pustym).
Przypuśćmy teraz, że \(\displaystyle{ K((x_1,y_1),r_1)\subsetneq K((x_2,y_2),r_2)}\).
Wówczas \(\displaystyle{ 2r_1=|(y_1-r_1,y_1+r_1)|=|K((x_1,y_1),r_1)_{x_1}|\le |K((x_2,y_2),r_2)_{x_1}|\le 2r_2}\).
\(\displaystyle{ |\cdot|}\) to jednowymiarowa miara Lebesgue'a.
Zakładam, że rzeka płynie na osi \(\displaystyle{ OX}\). Dla \(\displaystyle{ A\subset\RR^2}\) przez \(\displaystyle{ A_x}\) oznaczam cięcie pionowe, czyli \(\displaystyle{ \{y\in\RR:(x,y)\in A\}}\).
Jeśli \(\displaystyle{ (x,y)\in \RR^2}\) oraz \(\displaystyle{ r>0}\), to dowolne cięcie pionowe kuli \(\displaystyle{ K((x,y),r)}\) jest przedziałem o długości \(\displaystyle{ \le 2r}\) (może być zbiorem pustym).
Przypuśćmy teraz, że \(\displaystyle{ K((x_1,y_1),r_1)\subsetneq K((x_2,y_2),r_2)}\).
Wówczas \(\displaystyle{ 2r_1=|(y_1-r_1,y_1+r_1)|=|K((x_1,y_1),r_1)_{x_1}|\le |K((x_2,y_2),r_2)_{x_1}|\le 2r_2}\).
\(\displaystyle{ |\cdot|}\) to jednowymiarowa miara Lebesgue'a.