Spłaszczanie wypukłej powierzchni.

[Analiza123]

Witam.
Czy da radę spłaszczyć bez rozcinania kawałek gumowej dętki od kombajnu?
Na środku ma wypukły garb?
Co się stanie jak nałożę na nią jakiś ciężar, np. cegły?

[merowing3]

Ty tak na poważnie?

[Analiza123]

To może inaczej.
Czy da się spłaszczyć kawałek sfery bez jej nacinania?

[a4karo]

Co rozumiesz przez spłaszczyć?

[Analiza123]

Zrobić płaską powierzchnię (jak kartka papieru) np. w wyniku działania siły nacisku np.cegły.

[Jan Kraszewski]

To jest pytanie fizyczne czy matematyczne? Bo jak matematyczne, to ja bym zrobił rzut...

JK

[a4karo]

Zrobić płaską powierzchnię (jak kartka papieru) np. w wyniku działania siły nacisku np.cegły.

Jak weźmiesz odpowiednio dużą prasę, a spłaszczysz wszystko. Ale z matematyką to nie ma dużo wspólnego.

[Dasio11]

Jeśli uznać, że dobranie formalizmu matematycznego, który odpowiednio uściślałby pytanie, jest częścią problemu, to proponuję tak: rozważmy sferę jednostkową \(\displaystyle{ \mathbb{S}^2 \subseteq \RR^3}\) z metryką indukowaną z \(\displaystyle{ \RR^3}\) i płaszczyznę \(\displaystyle{ \RR^2.}\) Czy istnieją niepuste otwarte podzbiory \(\displaystyle{ U \subseteq \mathbb{S}^2}\) i \(\displaystyle{ V \subseteq \RR^2,}\) dla których istnieje bijektywna izometria \(\displaystyle{ \varphi : U \to V}\) ?

[krl]

@Dasio11: Tak, to jest ścisłe sformułowanie pytania. I odpowiedź jest negatywna. To jest związane z krzywizną, która jest różna w przypadku sfery i powierzchni płaskiej. W szczególności mapy w atlasach geograficznych nigdy nie są izometrycznymi obrazami (fragmentu) powierzchni Ziemi. Skala mapy (np.
1:10 000), jak również umieszczana w legendzie podziałka, nigdy nie są dokładne w każdym miejscu mapy. Tzn. odległość miedzy punktami na mapie, zmierzona zgodnie z podziałką mapy, różni się od prawdziwej odległości między odpowiednikami tych punktów w rzeczywistości (mierzonej po powierzchni kuli ziemskiej) dla większości punktów na danej mapie.
Różnice między skalą mapy a prawdziwymi skalami lokalnymi tej mapy są szczególnie widoczne, gdy obszar przedstawiony na mapie jest duży, np. obejmuje znaczną część półkuli północnej. Widać tam, że fragmenty lądów na północy są nieproporcjonalnie rozciągnięte w stosunku do fragmentów w centrum mapy.

[Dasio11]

To jest związane z krzywizną, która jest różna w przypadku sfery i powierzchni płaskiej.

Jeden z dowodów fałszywości postawionej tezy istotnie korzysta z pojęcia krzywizny (wywodzącego się z geometrii różniczkowej), jednak istnieje też całkowicie elementarny dowód opierający się na bezpośrednich wyliczeniach. Z pewnością jest to w zasięgu zdolnego licealisty (po wprowadzeniu występujących w tym sformułowaniu pojęć: metryka, izometria, zbiór otwarty...).

[Analiza123]

Jak sobie wezne kawałek np. gumowej sfery i postawia na niej 10cegieł to otrzymam powierzchnię płaską.

[a4karo]

Nie otrzymasz powierzchni płaskiej, tylko kawałek płaskiej gumy. Jak zdejmiesz cegły, to znów się wybuli. Ale jak dobrze podgrzejesz i sprasujesz, to wypłaszczy się na dobre.

Mam jednak wrażenie, że próbujesz te doswiadzenia zupełnie bezkrytycznie przenieść na matematykę. Tak sie nie da. W matematyce definiuje sie takie pojęcia jak płaszczyzna, czy tez zbiór na płaszczyżnie (i jego modelem tylko w duzym przybliżeniu jest kawałek gumy), rozmaitość (i znów, dętka jest w dużym przybliżeniu modelem torusa).
Gdy mówisz o spłaszczaniu, musisz określić dokładnie jakie własności sfery czy dętki ma to spłaszczenie zachowywać, a które chcesz poświęcić. Przykładem spłaszczeniem półsfery \(\displaystyle{ \{(x,y,z): x^1+y^2+z^2\leq 1, \ z\geq 0\}}\) jest koło \(\displaystyle{ \{(x,y,0): x^2+y^2\leq 1\}}\), (cegłą przyłożona w kierunku osi \(\displaystyle{ OZ}\)) ale tu musisz zapomnieć np. o zachowaniu odległości.

[Analiza123]

Nie trzeba nawet podgrzewać.
Jak cegły będą długo na niej leżeć to się wypłaszczy i będzie płaska nawet po zdjęciu cegieł.

[Dasio11]

Niewykluczone, ale jeśli nie zamierzasz dyskutować o tym zjawisku z punktu widzenia matematyki, to lepszym działem dla tego tematu byłby Hyde Park.

[Analiza123]

To dlaczego według matematyki nie da się spłaszczyć a w rzeczywistości się da?