Jak to jest z Wstęgą Mobiusa?

[Analiza123]

Jak to jest z tą wstęgo Mobiusa?
Podobno ma jedną stronę.
A jak zrobić ją z papieru, to można z jednej strony pomalować ją na czerwono, a z drugiej strony na zielono; a piszą, że wstęga Mobiusa nie ma drugiej strony?

[AiDi]

A jak zrobić ją z papieru, to można z jednej strony pomalować ją na czerwono, a z drugiej strony na zielono

Niby jak?

[Analiza123]

Tak, że na górze maluje na czerwono, a pod spodem na zielono.

[AiDi]

Mówisz o kartce papieru przed sklejeniem, która oczywiście ma "dwie strony". Spróbują ją najpierw skleić i dopiero pomalować, to zobaczysz o co chodzi.

[Analiza123]

To wstęga ma dwie strony?
Czy ma jedną strona i ta jedna strona w połowie jest czerwona a w drugiej połowie zielona?
'Malując farbami gotową wstęgę, pomalujemy całość jej powierzchni bez odwracania.'?
Nie wiem o co chodzi.

[AiDi]

To jak nie wiesz o co chodzi to zrób sam z papieru model wstęgi Mobiusa. Potem sam spróbuj ją pomalować.

[Janusz Tracz]

To wstęga ma dwie strony?

Nie. Wstęga Mobiusa ma jedną stronę.

Czy ma jedną strona i ta jedna strona w połowie jest czerwona a w drugiej połowie zielona?

Ma jedną stronę i można ją pokolorować w całości nie trzeba 2 kolorów.

'Malując farbami gotową wstęgę, pomalujemy całość jej powierzchni bez odwracania.'?

Nie ma czego obracać bo strona jest jedna. Możesz arbitralnie wybrać jakiś punkt na wstędze i zacząć kolorować jeśli zrobiłeś poprawnie wstęgę to uda Ci się pokolorować całość.

[kruszewski]

Jak to jest z tą wstęgą?
Jest tak:
dopóki jest ona tasiemką i ma niesklejone końce to jest to tasiemka i nic więcej. Dopiero po półobrocie i sklejeniu tasiemka staje się wstęgą, wstążką Mobiusa, ale dopiero po sklejeniu obróconych końców. Sam półobrót nie przekształca tasiemki we wstęgę która teraz przeciwnie do tasiemki nie ma końca ni początku.
I ten zabieg nad tasiemką, (na tasiemce), powoduje to, że ze zwyczajnej tasiemki z brzegiem,
z początkiem i końcem - staje się ona jednostronną powierzchnią o szerokości tej tasiemki . Teraz, kiedy tasiemka została wstęgą Mobiusa można ją, ale już jako wstęgę spróbować pomalować. Efekt będzie widoczny.

[Analiza123]

Wybieram jakiś punkt na złożonej wstędze i maluje na czerwono od góry, patrze od spodu i maluje na zielono.

[a4karo]

To zrób to.

[Analiza123]

Właśnie zrobiłem tylko nie wiem jak to zapisać w Latexie?

[AiDi]

Ale co Ty chcesz w LateXu zapisywać? Pokaż zdjęcie swojego modelu wstęgi. Przy czym pamiętaj, że zamalować musisz maksymalnie ile się da, a nie tylko troszkę.

[Dasio11]

Analiza123, Twoim rozmówcom chodzi o to, że stron wstęgi nie można pokolorować dwoma różnymi kolorami, jeśli trzymamy się pewnej reguły, a mianowicie: po zamalowaniu fragmentu wstęgi musimy kontynuować kolorowanie obszaru stykającego się z pokolorowaną częścią i zatrzymać się można dopiero na brzegu wstęgi (który jest krawędzią kartki papieru). Postępując w ten sposób ze wstęgą Möbiusa, będziesz zmuszony pokolorować ją w całości jednym kolorem.

Na marginesie dodam, że stwierdzenie "wstęga Möbiusa ma jedną stronę" nie jest matematycznie ścisłe, a co więcej - nie kojarzy mi się jednoznacznie żaden sposób uściślenia go w języku matematyki (najbliższe skojarzenie to nietrywialność wiązki normalnej lub nieorientowalność rozmaitości, ale i tak nie widzę, jak zdefiniować samą "stronę" rozmaitości). A dopóki takie uściślenie nie pojawi się w tym wątku, to dyskusja nie będzie miała charakteru rozważań matematycznych i w najlepszym razie przybierze formę zabaw z geometrią na poziomie szkolnym, a w najgorszym - bezsensownych dywagacji.

[AiDi]

nie kojarzy mi się jednoznacznie żaden sposób uściślenia go w języku matematyki

W podręcznikach geometrii różniczkowej zwykle przez "powierzchnie jednostronne" rozumie się rozmaitości nieorientowalne (np. podręcznik Gancarzewicza, s. 147). Nazwa nie niesie żadnej głębszej matematycznej treści, w sensie nie definiuje się 'strony' rozmaitości. Choć w przypadku rozmaitości orientowalnych "strony" można by utożsamić z jej orientacjami, bo są tylko dwie, tylko to się psuje w przypadku nieorientowalnym bo orientacji jest zero. Zatem nazwa ma raczej odwoływać się do intuicji wyrobionej na wstędze Mobiusa niż nieść jakąś głębszą matematyczną treść.

[Dasio11]

To ja dla przypadku, gdy spójna rozmaitość \(\displaystyle{ M}\) wymiaru \(\displaystyle{ n}\) jest zanurzona w \(\displaystyle{ \RR^{n+1}}\) (a więc ma sens pojęcie wiązki normalnej \(\displaystyle{ \mathrm{N} M}\) i każde włókno jest jednowymiarowe), zaproponuję taką definicję:

\(\displaystyle{ \bullet}\) Niech \(\displaystyle{ Z = \{ 0_p \in \mathrm{N}_p M : p \in M \}}\).

\(\displaystyle{ \bullet}\) Dla \(\displaystyle{ u, v \in \mathrm{N} M \setminus Z}\) niech \(\displaystyle{ u \sim v,}\) jeśli istnieje niezerująca się droga z \(\displaystyle{ u}\) do \(\displaystyle{ v}\) w \(\displaystyle{ \mathrm{N} M,}\) czyli funkcja ciągła \(\displaystyle{ \alpha : [0, 1] \to \mathrm{N} M,}\) taka że \(\displaystyle{ \alpha(0) = u, \ \alpha(1) = v}\) i \(\displaystyle{ (\forall t \in [0, 1]) \, \alpha(t) \notin Z.}\) Łatwo widać, że jest to relacja równoważności.

\(\displaystyle{ \bullet}\) Stroną rozmaitości \(\displaystyle{ M}\) nazywamy klasę abstrakcji powyższej relacji.

Równoważnie można powiedzieć, że strony rozmaitości \(\displaystyle{ M}\) to po prostu składowe spójności \(\displaystyle{ \mathrm{N} M \setminus Z.}\)

Wtedy wstęga Möbiusa ma jedną stronę, a na przykład sfera, torus i płaszczyzna mają dwie. Ponadto każda spójna rozmaitość \(\displaystyle{ M \subseteq \RR^3}\) wymiaru \(\displaystyle{ 2}\) ma jedną lub dwie strony, więc takie pojęcie chyba ma sens.