Warunek sumy w definicji topologii.

[tangerine11]

Zadanie jest następujące:

Niech \(\displaystyle{ \tau = \{ G_{k}: k\in \RR \} \cup \{ \RR^2, \emptyset \}}\), gdzie: \(\displaystyle{ G_{k} = \left\{ (x,y), x>y+k\right\}}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ k}\).
Pokaż, że \(\displaystyle{ \tau}\) jest topologią na \(\displaystyle{ \RR^2}\).

Dwa warunki poszły gładko, ale mam problem z ostatnim tzn sumą. W mojej definicji:
\(\displaystyle{ 3)}\) \(\displaystyle{ \forall j \inJ: U_j \in \tau \Rightarrow \bigcup_{j \in J} U_j \in \tau}\)

Ten warunek mówi po prostu że suma zbiorów otwartych jest otwarta?

Jakoś nie potrafię przetrawić tych indeksów \(\displaystyle{ j}\), tzn mam problem z zapisaniem tego dla konkretnego przykładu...

[Premislav]

Ten warunek mówi po prostu że suma zbiorów otwartych jest otwarta?

Zgadza się.

O ile się nie pomyliłem (zrobiłem sobie po prostu mały rysunek poglądowy), jeżeli
\(\displaystyle{ G_k=\left\{ (x, y): x>y+k\right\}}\), to
\(\displaystyle{ \bigcup_{k \in K}^{} G_k=G_{k_0}}\), gdzie \(\displaystyle{ k_0=\inf K}\) (no a \(\displaystyle{ G_{k_0}}\) oczywiście jest otwarty dla dowolnego \(\displaystyle{ k_0 \in \RR}\)), pewnie przydałoby się to formalnie wykazać, ale nie powinno to być bardzo trudne. No i jeszcze trzeba pewnie rozważyć przypadek, w którym to infimum jest równe \(\displaystyle{ -\infty}\), ale to też nic nie psuje, bo wówczas otrzymamy całe \(\displaystyle{ \RR^2}\).

[tangerine11]

Dziękuję