Moc zbioru granic ciągu

[chcezrozumiec2]

Jaką moc może mieć zbiór granic ciągu w przestrzeni topologicznej, a jaką w metrycznej? Czy w przestrzeni topologicznej jest to continuum?

[Jan Kraszewski]

Co to jest "zbiór granic ciągu"?

JK

[Premislav]

Ej, może to głupie pytanie, ale jak zdefiniować granicę ogólnie w przestrzeni topologicznej, bez metryki (może o czymś zapomniałem)? Przez analogię tak że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_n=x}\), gdy dla każdego zbioru otwartego \(\displaystyle{ A \ni x}\) prawie wszystkie elementy ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) należą do \(\displaystyle{ A}\)? Nie bardzo widzę sens w takiej definicji.

[chcezrozumiec2]

Co to jest "zbiór granic ciągu"?

JK

Takie było polecenie. podejrzewam że chodzi o to ile granic może mieć ciąg w tej przestrzeni oraz jeżeli jest to nieskończenie wiele to czy alef 0 czy continuum.

[Jan Kraszewski]

Takie było polecenie.

Ale skąd wziąłeś to polecenie?

podejrzewam że chodzi o to ile granic może mieć ciąg w tej przestrzeni oraz jeżeli jest to nieskończenie wiele to czy alef 0 czy continuum.

Mnie zawsze uczyli, że ciąg może mieć jedną granicę... No i zasadne pozostaje pytanie Premislava, co rozumiesz przez granicę ciągu w przestrzeni topologicznej.

A tak naprawdę to podejrzewam, że czegoś nie zrozumiałeś bądź przekręciłeś.

JK

[Dasio11]

Jeśli przestrzeń jest Hausdorffa (T2), to granica jest najwyżej jedna, ale w przeciwnym przypadku może być ich wiele. W skrajnym przypadku - w przestrzeni antydyskretnej - każdy ciąg jest zbieżny do każdego elementu.

P.S. Dołączam się do pytania o definicję granicy ciągu w przestrzeni topologicznej i do prośby o jednoznaczne sformułowanie treści zadania.

[chcezrozumiec2]

Dziękuję za zainteresowanie.
W notatkach znalazłem taką definicję: Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) elementów \(\displaystyle{ X}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ x_0 \in X}\) jeżeli dla każdego zbioru otwartego \(\displaystyle{ U}\) punktu \(\displaystyle{ x_0}\) prawie wszystkie elementy ciągu (w domyśle: nieskończona ilość wyrazów ciągu) należą do \(\displaystyle{ U}\).
Pełna treść zadania: Podaj definicje zbieżności ciągu w przestrzeni topologicznej i w przestrzeni metrycznej. Jaką moc może mieć zbiór granic ciągu w przestrzeni topologicznej i w przestrzeni metrycznej.
Moje pytanie: czy w takim razie, biorąc np przestrzeń antydyskretną, może to być w ogólności także continuum?

[Jan Kraszewski]

W notatkach znalazłem taką definicję: Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) elementów \(\displaystyle{ X}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ x_0 \in X}\) jeżeli dla każdego zbioru otwartego \(\displaystyle{ U}\) punktu \(\displaystyle{ x_0}\) prawie wszystkie elementy ciągu (w domyśle: nieskończona ilość wyrazów ciągu) należą do \(\displaystyle{ U}\).

"Prawie wszystkie wyrazy ciągu" i "nieskończenie wiele wyrazów ciągu" to zupełnie co innego. Która z tych własności jest ostatecznie w tej definicji? Podejrzewam, że to "w domyśle" to raczej nieszczęśliwy komentarz.

JK

[chcezrozumiec2]

W notatkach znalazłem taką definicję: Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) elementów \(\displaystyle{ X}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ x_0 \in X}\) jeżeli dla każdego zbioru otwartego \(\displaystyle{ U}\) punktu \(\displaystyle{ x_0}\) prawie wszystkie elementy ciągu (w domyśle: nieskończona ilość wyrazów ciągu) należą do \(\displaystyle{ U}\).

"Prawie wszystkie wyrazy ciągu" i "nieskończenie wiele wyrazów ciągu" to zupełnie co innego. Która z tych własności jest ostatecznie w tej definicji? Podejrzewam, że to "w domyśle" to raczej nieszczęśliwy komentarz.

JK

wiążące są prawie wszystkie elementy ciągu

[Dasio11]

Moje pytanie: czy w takim razie, biorąc np przestrzeń antydyskretną, może to być w ogólności także continuum?

Może to być dowolna moc, a więc continuum także (i większe też). Rozważmy bowiem dowolną moc \(\displaystyle{ \kappa > 0}\) i niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem mocy \(\displaystyle{ \kappa.}\) Wprowadzamy na \(\displaystyle{ X}\) topologię antydyskretną, czyli \(\displaystyle{ \tau = \{ \varnothing, X \}.}\) Weźmy teraz jakiś punkt \(\displaystyle{ a \in X}\) (taki punkt istnieje, bo \(\displaystyle{ \kappa > 0}\)) i rozważmy ciąg stały \(\displaystyle{ x_n = a.}\) Wtedy zbiorem granic tego ciągu jest cały \(\displaystyle{ X,}\) który jest mocy \(\displaystyle{ \kappa.}\)

Dla \(\displaystyle{ \kappa = 0}\) łatwo skonstruować odpowiedni przykład (topologia antydyskretna nie zadziała).