Moc zbioru granic ciągu
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 14 mar 2018, o 10:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
Moc zbioru granic ciągu
Jaką moc może mieć zbiór granic ciągu w przestrzeni topologicznej, a jaką w metrycznej? Czy w przestrzeni topologicznej jest to continuum?
-
- Administrator
- Posty: 34283
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Moc zbioru granic ciągu
Ej, może to głupie pytanie, ale jak zdefiniować granicę ogólnie w przestrzeni topologicznej, bez metryki (może o czymś zapomniałem)? Przez analogię tak że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_n=x}\), gdy dla każdego zbioru otwartego \(\displaystyle{ A \ni x}\) prawie wszystkie elementy ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) należą do \(\displaystyle{ A}\)? Nie bardzo widzę sens w takiej definicji.
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 14 mar 2018, o 10:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
Re: Moc zbioru granic ciągu
Takie było polecenie. podejrzewam że chodzi o to ile granic może mieć ciąg w tej przestrzeni oraz jeżeli jest to nieskończenie wiele to czy alef 0 czy continuum.Jan Kraszewski pisze:Co to jest "zbiór granic ciągu"?
JK
-
- Administrator
- Posty: 34283
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Moc zbioru granic ciągu
Ale skąd wziąłeś to polecenie?chcezrozumiec2 pisze: Takie było polecenie.
Mnie zawsze uczyli, że ciąg może mieć jedną granicę... No i zasadne pozostaje pytanie Premislava, co rozumiesz przez granicę ciągu w przestrzeni topologicznej.chcezrozumiec2 pisze:podejrzewam że chodzi o to ile granic może mieć ciąg w tej przestrzeni oraz jeżeli jest to nieskończenie wiele to czy alef 0 czy continuum.
A tak naprawdę to podejrzewam, że czegoś nie zrozumiałeś bądź przekręciłeś.
JK
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Moc zbioru granic ciągu
Jeśli przestrzeń jest Hausdorffa (T2), to granica jest najwyżej jedna, ale w przeciwnym przypadku może być ich wiele. W skrajnym przypadku - w przestrzeni antydyskretnej - każdy ciąg jest zbieżny do każdego elementu.
P.S. Dołączam się do pytania o definicję granicy ciągu w przestrzeni topologicznej i do prośby o jednoznaczne sformułowanie treści zadania.
P.S. Dołączam się do pytania o definicję granicy ciągu w przestrzeni topologicznej i do prośby o jednoznaczne sformułowanie treści zadania.
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 14 mar 2018, o 10:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
Re: Moc zbioru granic ciągu
Dziękuję za zainteresowanie.
W notatkach znalazłem taką definicję: Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) elementów \(\displaystyle{ X}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ x_0 \in X}\) jeżeli dla każdego zbioru otwartego \(\displaystyle{ U}\) punktu \(\displaystyle{ x_0}\) prawie wszystkie elementy ciągu (w domyśle: nieskończona ilość wyrazów ciągu) należą do \(\displaystyle{ U}\).
Pełna treść zadania: Podaj definicje zbieżności ciągu w przestrzeni topologicznej i w przestrzeni metrycznej. Jaką moc może mieć zbiór granic ciągu w przestrzeni topologicznej i w przestrzeni metrycznej.
Moje pytanie: czy w takim razie, biorąc np przestrzeń antydyskretną, może to być w ogólności także continuum?
W notatkach znalazłem taką definicję: Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) elementów \(\displaystyle{ X}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ x_0 \in X}\) jeżeli dla każdego zbioru otwartego \(\displaystyle{ U}\) punktu \(\displaystyle{ x_0}\) prawie wszystkie elementy ciągu (w domyśle: nieskończona ilość wyrazów ciągu) należą do \(\displaystyle{ U}\).
Pełna treść zadania: Podaj definicje zbieżności ciągu w przestrzeni topologicznej i w przestrzeni metrycznej. Jaką moc może mieć zbiór granic ciągu w przestrzeni topologicznej i w przestrzeni metrycznej.
Moje pytanie: czy w takim razie, biorąc np przestrzeń antydyskretną, może to być w ogólności także continuum?
Ostatnio zmieniony 15 mar 2018, o 12:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
- Administrator
- Posty: 34283
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Moc zbioru granic ciągu
"Prawie wszystkie wyrazy ciągu" i "nieskończenie wiele wyrazów ciągu" to zupełnie co innego. Która z tych własności jest ostatecznie w tej definicji? Podejrzewam, że to "w domyśle" to raczej nieszczęśliwy komentarz.chcezrozumiec2 pisze:W notatkach znalazłem taką definicję: Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) elementów \(\displaystyle{ X}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ x_0 \in X}\) jeżeli dla każdego zbioru otwartego \(\displaystyle{ U}\) punktu \(\displaystyle{ x_0}\) prawie wszystkie elementy ciągu (w domyśle: nieskończona ilość wyrazów ciągu) należą do \(\displaystyle{ U}\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 14 mar 2018, o 10:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
Re: Moc zbioru granic ciągu
wiążące są prawie wszystkie elementy ciąguJan Kraszewski pisze:"Prawie wszystkie wyrazy ciągu" i "nieskończenie wiele wyrazów ciągu" to zupełnie co innego. Która z tych własności jest ostatecznie w tej definicji? Podejrzewam, że to "w domyśle" to raczej nieszczęśliwy komentarz.chcezrozumiec2 pisze:W notatkach znalazłem taką definicję: Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) elementów \(\displaystyle{ X}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ x_0 \in X}\) jeżeli dla każdego zbioru otwartego \(\displaystyle{ U}\) punktu \(\displaystyle{ x_0}\) prawie wszystkie elementy ciągu (w domyśle: nieskończona ilość wyrazów ciągu) należą do \(\displaystyle{ U}\).
JK
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Moc zbioru granic ciągu
Może to być dowolna moc, a więc continuum także (i większe też). Rozważmy bowiem dowolną moc \(\displaystyle{ \kappa > 0}\) i niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem mocy \(\displaystyle{ \kappa.}\) Wprowadzamy na \(\displaystyle{ X}\) topologię antydyskretną, czyli \(\displaystyle{ \tau = \{ \varnothing, X \}.}\) Weźmy teraz jakiś punkt \(\displaystyle{ a \in X}\) (taki punkt istnieje, bo \(\displaystyle{ \kappa > 0}\)) i rozważmy ciąg stały \(\displaystyle{ x_n = a.}\) Wtedy zbiorem granic tego ciągu jest cały \(\displaystyle{ X,}\) który jest mocy \(\displaystyle{ \kappa.}\)chcezrozumiec2 pisze:Moje pytanie: czy w takim razie, biorąc np przestrzeń antydyskretną, może to być w ogólności także continuum?
Dla \(\displaystyle{ \kappa = 0}\) łatwo skonstruować odpowiedni przykład (topologia antydyskretna nie zadziała).