Czy przestrzeń jest zupełna?

[Milo_17]

Cześć,

Niech \(\displaystyle{ (X,d_{x})}\) będzie przestrzenią metryczną zupełną, a \(\displaystyle{ (Y,d_{y})}\) będzie przestrzenią metryczną oraz niech \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) będzie ciągłe. Czy przestrzeń \(\displaystyle{ (Y,d_{y})}\) jest przestrzenią zupełną?

Wydaję mi się że niekoniecznie. Mój kontrprzykład:
\(\displaystyle{ d_{x} i d_{y}}\) to metryki euklidesowe. \(\displaystyle{ X=[0,1] ; Y=(0,1)}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{2}}\) Warunki zadania są spełnione, a np. ciąg \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) nie jest zbieżny w \(\displaystyle{ (Y,d_{y})}\). Czy to jest dobrze? Mam wrażenie że za łatwo poszło rzuci ktoś okiem?

[a4karo]

Dobrze, ale trywialnie. Ewidentnie brakuje jakiegoś założenia (np \(\displaystyle{ f}\) jest "na"), lub zadanie powinno brzmieć: \(\displaystyle{ (f(X),d_y)}\) jest zupełna.

[Kaf]

Mogłoby nawet być "\(\displaystyle{ f}\) jest homeomorfizmem", a odpowiedź dalej byłaby negatywna.