Przestrzenie E i R
Przestrzenie E i R
Czym się różni przestrzeń \(\displaystyle{ E ^{n}}\) od przestrzeni \(\displaystyle{ \RR ^{n}}\) ?
Czy są izomorficzne albo homeomorficzne?
Czy są izomorficzne albo homeomorficzne?
Ostatnio zmieniony 9 mar 2018, o 16:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3841
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
Re: Przestrzenie E i R
Hm. Oznaczenie \(\displaystyle{ E^n}\) nie jest tak całkowicie jednoznaczne, ale idąc za nomenklaturą mojej ulubionej książki z algebry (Kostrikin tom 2) jest to przestrzeń euklidesowa, czyli przestrzeń afiniczna modelowana na wektorowym \(\displaystyle{ \RR^n}\) wyposażonym w iloczyn skalarny. \(\displaystyle{ \RR^n}\) to taki obiekt, który niesie na sobie bardzo dużo dodatkowych struktur i to które są dla nas w danej chwili istotne zależy od, cóż, tego co jest dla nas w tej chwili istotne.
Jeśli traktować \(\displaystyle{ \RR^n}\) wyłącznie jako przestrzeń wektorową na której modelowana jest \(\displaystyle{ E^n}\), to istnieje bijekcja \(\displaystyle{ E^n\rightarrow \RR^n}\). A nawet dużo bijekcji, bo każdy punkt \(\displaystyle{ E^n}\) zadaje jedną
Jeśli traktować \(\displaystyle{ \RR^n}\) jako przestrzeń afiniczną modelowaną na \(\displaystyle{ \RR^n}\) to łączy ją z \(\displaystyle{ E^n}\) izomorfizm afiniczny.
Co do topologii (żeby nie było, że dział nie ten): z \(\displaystyle{ E^n}\) można zrobić przestrzeń topologiczną przeciągając topologię z \(\displaystyle{ \RR^n}\) za pomocą wspomnianej bijekcji. Będą wtedy one naturalnie homeomorficzne.
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_afiniczna
Jeśli traktować \(\displaystyle{ \RR^n}\) wyłącznie jako przestrzeń wektorową na której modelowana jest \(\displaystyle{ E^n}\), to istnieje bijekcja \(\displaystyle{ E^n\rightarrow \RR^n}\). A nawet dużo bijekcji, bo każdy punkt \(\displaystyle{ E^n}\) zadaje jedną
Jeśli traktować \(\displaystyle{ \RR^n}\) jako przestrzeń afiniczną modelowaną na \(\displaystyle{ \RR^n}\) to łączy ją z \(\displaystyle{ E^n}\) izomorfizm afiniczny.
Co do topologii (żeby nie było, że dział nie ten): z \(\displaystyle{ E^n}\) można zrobić przestrzeń topologiczną przeciągając topologię z \(\displaystyle{ \RR^n}\) za pomocą wspomnianej bijekcji. Będą wtedy one naturalnie homeomorficzne.
Przestrzenie E i R
Dla mnie istotna jest pochodna z \(\displaystyle{ \RR ^{n}}\) w \(\displaystyle{ \RR ^{m}}\) oraz
z \(\displaystyle{ E ^{n}}\) w \(\displaystyle{ \RR}\).
z \(\displaystyle{ E ^{n}}\) w \(\displaystyle{ \RR}\).
Ostatnio zmieniony 9 mar 2018, o 21:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3841
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
Re: Przestrzenie E i R
W obu przypadkach pochodna w każdym punkcie jest odwzorowaniem liniowym \(\displaystyle{ \RR^n\rightarrow\RR^m}\), dla odpowiedniego \(\displaystyle{ m}\), bo nie wiem czy nie przez pomyłkę dałeś na końcu samo \(\displaystyle{ \RR}\)...
Przestrzenie E i R
Czy \(\displaystyle{ \RR ^{n}}\) i \(\displaystyle{ \RR ^{m}}\) mogą być przestrzeniami Banacha?
Ostatnio zmieniony 10 mar 2018, o 18:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
Przestrzenie E i R
Nie wiem na jakim poziomie abstrakcji warto się uczyć rachunku różniczkowego wielu zmiennych bo co podręcznik to inny.
Przestrzenie E i R
Czy mógłbym prosić o jakieś przykłady funkcji:
a. \(\displaystyle{ f:R ^{n} \rightarrow R}\)
b. \(\displaystyle{ g:R \rightarrow R ^{n}}\)
c. \(\displaystyle{ h:R ^{n} \rightarrow R ^{m}}\)
a. \(\displaystyle{ f:R ^{n} \rightarrow R}\)
b. \(\displaystyle{ g:R \rightarrow R ^{n}}\)
c. \(\displaystyle{ h:R ^{n} \rightarrow R ^{m}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 821
- Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 84 razy
- Pomógł: 45 razy
Re: Przestrzenie E i R
a) \(\displaystyle{ f(x_{1},...,x_{n})=x_{1}+ ... +x_{n}}\)
b) \(\displaystyle{ f(x)=x \alpha}\) gdzie alpha jest jakimś wektorem w \(\displaystyle{ R^{n}}\)
c) Analogicznie, twoja funkcja przyjmuje jakiś wektor który ma \(\displaystyle{ n}\) zmiennych a na wyjsciu dostajesz coś co ma tych zmiennych \(\displaystyle{ m}\)
b) \(\displaystyle{ f(x)=x \alpha}\) gdzie alpha jest jakimś wektorem w \(\displaystyle{ R^{n}}\)
c) Analogicznie, twoja funkcja przyjmuje jakiś wektor który ma \(\displaystyle{ n}\) zmiennych a na wyjsciu dostajesz coś co ma tych zmiennych \(\displaystyle{ m}\)