Przestrzenie E i R

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
login1977
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 27 paź 2017, o 17:49
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 2 razy

Przestrzenie E i R

Post autor: login1977 »

Czym się różni przestrzeń \(\displaystyle{ E ^{n}}\) od przestrzeni \(\displaystyle{ \RR ^{n}}\) ?
Czy są izomorficzne albo homeomorficzne?
Ostatnio zmieniony 9 mar 2018, o 16:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Przestrzenie E i R

Post autor: AiDi »

Hm. Oznaczenie \(\displaystyle{ E^n}\) nie jest tak całkowicie jednoznaczne, ale idąc za nomenklaturą mojej ulubionej książki z algebry (Kostrikin tom 2) jest to

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_afiniczna
przestrzeń euklidesowa, czyli przestrzeń afiniczna modelowana na wektorowym \(\displaystyle{ \RR^n}\) wyposażonym w iloczyn skalarny. \(\displaystyle{ \RR^n}\) to taki obiekt, który niesie na sobie bardzo dużo dodatkowych struktur i to które są dla nas w danej chwili istotne zależy od, cóż, tego co jest dla nas w tej chwili istotne.
Jeśli traktować \(\displaystyle{ \RR^n}\) wyłącznie jako przestrzeń wektorową na której modelowana jest \(\displaystyle{ E^n}\), to istnieje bijekcja \(\displaystyle{ E^n\rightarrow \RR^n}\). A nawet dużo bijekcji, bo każdy punkt \(\displaystyle{ E^n}\) zadaje jedną
Jeśli traktować \(\displaystyle{ \RR^n}\) jako przestrzeń afiniczną modelowaną na \(\displaystyle{ \RR^n}\) to łączy ją z \(\displaystyle{ E^n}\) izomorfizm afiniczny.
Co do topologii (żeby nie było, że dział nie ten): z \(\displaystyle{ E^n}\) można zrobić przestrzeń topologiczną przeciągając topologię z \(\displaystyle{ \RR^n}\) za pomocą wspomnianej bijekcji. Będą wtedy one naturalnie homeomorficzne.
login1977
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 27 paź 2017, o 17:49
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 2 razy

Przestrzenie E i R

Post autor: login1977 »

Dla mnie istotna jest pochodna z \(\displaystyle{ \RR ^{n}}\) w \(\displaystyle{ \RR ^{m}}\) oraz
z \(\displaystyle{ E ^{n}}\) w \(\displaystyle{ \RR}\).
Ostatnio zmieniony 9 mar 2018, o 21:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Przestrzenie E i R

Post autor: AiDi »

Aha. A coś więcej? I jak to ma się do pytania z pierwszego posta?
login1977
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 27 paź 2017, o 17:49
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 2 razy

Przestrzenie E i R

Post autor: login1977 »

Która pochodna jest ogólniejsza? A może są jeszcze ogólniejsze?
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Przestrzenie E i R

Post autor: AiDi »

W obu przypadkach pochodna w każdym punkcie jest odwzorowaniem liniowym \(\displaystyle{ \RR^n\rightarrow\RR^m}\), dla odpowiedniego \(\displaystyle{ m}\), bo nie wiem czy nie przez pomyłkę dałeś na końcu samo \(\displaystyle{ \RR}\)...
login1977
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 27 paź 2017, o 17:49
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 2 razy

Przestrzenie E i R

Post autor: login1977 »

Czy \(\displaystyle{ \RR ^{n}}\) i \(\displaystyle{ \RR ^{m}}\) mogą być przestrzeniami Banacha?
Ostatnio zmieniony 10 mar 2018, o 18:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Przestrzenie E i R

Post autor: AiDi »

Mogą i są. Tak z ciekawości: czy te luźno powiązane pytania mają do czegoś prowadzić?
login1977
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 27 paź 2017, o 17:49
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 2 razy

Przestrzenie E i R

Post autor: login1977 »

Nie wiem na jakim poziomie abstrakcji warto się uczyć rachunku różniczkowego wielu zmiennych bo co podręcznik to inny.
login1977
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 27 paź 2017, o 17:49
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 2 razy

Przestrzenie E i R

Post autor: login1977 »

Czy mógłbym prosić o jakieś przykłady funkcji:
a. \(\displaystyle{ f:R ^{n} \rightarrow R}\)
b. \(\displaystyle{ g:R \rightarrow R ^{n}}\)
c. \(\displaystyle{ h:R ^{n} \rightarrow R ^{m}}\)
Milczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 821
Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 45 razy

Re: Przestrzenie E i R

Post autor: Milczek »

a) \(\displaystyle{ f(x_{1},...,x_{n})=x_{1}+ ... +x_{n}}\)
b) \(\displaystyle{ f(x)=x \alpha}\) gdzie alpha jest jakimś wektorem w \(\displaystyle{ R^{n}}\)
c) Analogicznie, twoja funkcja przyjmuje jakiś wektor który ma \(\displaystyle{ n}\) zmiennych a na wyjsciu dostajesz coś co ma tych zmiennych \(\displaystyle{ m}\)
login1977
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 27 paź 2017, o 17:49
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 2 razy

Przestrzenie E i R

Post autor: login1977 »

Dziękuję.
ODPOWIEDZ