Problemy interpretacyjne ze zdefiniowaniem topologii

[foundofmath]

Jak należy ściśle rozumieć "zdefiniować topologię za pomocą (jakiejś) operacji" w sytuacji, kiedy te operacje są zrelatywizowane do przestrzeni topologicznych (dopiero w nich definiowane i same jako takie nie mają sensu)?

[Jan Kraszewski]

A mógłbyś podać jakiś konkretny przykład?

JK

[foundofmath]

Przykładowo: Podobno można zdefiniować (wprowadzić, zadać?) topologię przez operację wnętrza.

Problem: Nie rozumiem o co chodzi - pojęcie wnętrza (podzbioru uniwersum przestrzeni topologicznej rozumianej jako pary złożonej ze zbioru (uniwersum) i topologii określonej na nim) miałem zdefiniowane wyłącznie w przestrzeni topologicznej, a tu mam "stworzyć" topologię przy pomocy pojęcia, które dopiero przy ustalonej topologii ma sens?

[Jan Kraszewski]

Przykładowo: Podobno można zdefiniować (wprowadzić, zadać?) topologię przez operację wnętrza.

Można.

Problem: Nie rozumiem o co chodzi - pojęcie wnętrza (podzbioru uniwersum przestrzeni topologicznej rozumianej jako pary złożonej ze zbioru (uniwersum) i topologii określonej na nim) miałem zdefiniowane wyłącznie w przestrzeni topologicznej, a tu mam "stworzyć" topologię przy pomocy pojęcia, które dopiero przy ustalonej topologii ma sens?

Definiujesz funkcję \(\displaystyle{ W}\), która podzbiorom zbioru \(\displaystyle{ X}\), na którym chcesz określić topologię, przypisuje podzbiory tegoż zbioru i ma pewne określone własności:
- \(\displaystyle{ W(X)=X}\),
- dla każdego podzbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) mamy \(\displaystyle{ W(A) \subseteq A}\),
- dla dowolnych \(\displaystyle{ A,B \subseteq X}\) mamy \(\displaystyle{ W(A\cap B)=W(A)\cap W(B)}\),
- dla każdego podzbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) mamy \(\displaystyle{ W(W(A)) = W(A)}\).

Zauważ, że powyższa definicja jest czysto mnogościowa, nie ma tu mowy o żadnej topologii.

I teraz korzystając z tej funkcji możemy zdefiniować topologię: mówimy, że \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) jest otwarty, jeśli \(\displaystyle{ W(A)= A}\).

Pozostaje sprawdzić, czy taka definicja ma sens - musisz sprawdzić, że rodzina tak zdefiniowanych otwartych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) spełnia warunki topologii.

JK

[Dasio11]

Co więcej: niech \(\displaystyle{ X}\) będzie dowolnym zbiorem. Oznaczmy

\(\displaystyle{ \tau(X) = \{ T \subseteq \mathcal{P}(X) : T \text{ jest topologią na } X \} \\[1ex]
\omega(X) = \{ W \in X^X : W \text{ spełnia własności z powyższego posta} \}.}\)

Rozważmy odwzorowania

1. \(\displaystyle{ \Phi : \tau(X) \to \omega(X)}\) dane przez \(\displaystyle{ \Phi(T) = \mathrm{int}^T,}\) gdzie dla \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) przez \(\displaystyle{ \mathrm{int}^T(A)}\) oznaczamy wnętrze zbioru \(\displaystyle{ A}\) względem topologii \(\displaystyle{ T.}\)

2. \(\displaystyle{ \Psi : \omega(X) \to \tau(X)}\) dane przez \(\displaystyle{ \Psi(W) = \{ U \subseteq X : W(U) = U \}.}\)

Są one dobrze określone, tj. dla każdego \(\displaystyle{ T \in \tau(X)}\) funkcja \(\displaystyle{ \Phi(T)}\) spełnia warunki z powyższego posta oraz dla każdego \(\displaystyle{ W \in \omega(X)}\) rodzina \(\displaystyle{ \Psi(W)}\) jest topologią na \(\displaystyle{ X.}\) Ponadto są one wzajemnie odwrotne, a więc zadają wzajemną jednoznaczność między topologiami na \(\displaystyle{ X}\) oraz operacjami o opisanych wyżej własnościach. W takim sensie każda operacja \(\displaystyle{ W}\) o odpowiednich własnościach jednoznacznie definiuje pewną topologię na \(\displaystyle{ X,}\) względem której ta operacja jest operacją wnętrza. W szczególności każdą topologię można odzyskać w ten sposób mając jedynie jej operację wnętrza.