Łukowa spójność

primax · Post autor: **primax** » 29 sty 2018, o 18:23

Witam. Zmagam się z zagadnieniem łukowej spójności i nie wiem jak ją udowodnić. Mianowicie chcę sprawdzić czy zbiór \(\displaystyle{ W=[1,3]\times[1,4]}\) jest łukowo spójny w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2}\) z metryką rzeką.

Korzystając z definicji, że dla każdego punktu \(\displaystyle{ x_0, x_1 \in W}\) musi istnieć odwzorowanie ciągłe \(\displaystyle{ f: [0,1] \rightarrow W: f(0)=x_0, f(1)=x_1}\) mam

\(\displaystyle{ x_0=f(0)}\) - początek łuku
\(\displaystyle{ x_1=f(1)}\) - koniec łuku

Istnieje wówczas odwzorowanie
\(\displaystyle{ f(a)=ax_1+(1-a)x_0}\).

Czy to wszystko na ten temat? Proszę o pomoc i życzę miłego dnia.

relic · Post autor: **relic** » 29 sty 2018, o 18:29

Sprawdź ciągłość swojego odwzorowania w metryce rzeki

primax · Post autor: **primax** » 29 sty 2018, o 18:48

Dlaczego miałaby nie być ciągła?

relic · Post autor: **relic** » 29 sty 2018, o 18:49

no bo jestes w innej metryce niz euklidesowa i w tej metryce droga laczaca dwa punkty "po prostej" nie musi byc ciagla

primax · Post autor: **primax** » 29 sty 2018, o 18:53

Nie mam pojęcia jak to zrobić. Proszę o pomoc.

relic · Post autor: **relic** » 29 sty 2018, o 18:59

Narysuj sobie ten zbior, polacz sobie dwa dowolne punkty z tego zbioru odcinkiem (tylko żeby ich drugie współrzędne się różniły) i sprawdź jaka jest odległość między dowolnym punktem z tego odcinka i jego "otoczeniem" (pamietaj ze jestes w metryce rzeki).
Chyba, że od razu chcesz to sobie skorzystaj z definicji ciągłości funkcji w przestrzeniach metrycznych i oszacuj jak duża będzie dla takiej funkcji różnica wartości funkcji

primax · Post autor: **primax** » 29 sty 2018, o 19:31

Nie mam pojęcia znalazłem tylko wzór

\(\displaystyle{ \rho_e(x_0,x)<\delta \Rightarrow \rho_r(f(x),g)<\epsilon}\)