Topologia- grupy wolne, rozmaitości dwuwymiarowe

[Ist94]

Czym są dwuwymiarowe rozmaitości pierwsze?
(Przestrzeń rzutowa, butelka Kelina, suma spójna sfery i torusa, sfera jednostkowa)

Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć grupy wolne i ich generatory?
Czym jest grupa podstawowa?

[leg14]

Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć grupy wolne i ich generatory?

Weź dowolną grupę \(\displaystyle{ G}\) skończenie generowaną i minimalny zbiór generatorów \(\displaystyle{ <x_1,..,x_n>}\)
Z definicji elementy grupy G to będą słowa zapisane nad alfabetem \(\displaystyle{ \left\{ e,x_1,..,x_n,x_{1}^{-1},..,x_{n}^{-1}\right\}}\)
Pewne słowa będą utożsamiane ze sobą. Na przykład z definicji zawsze \(\displaystyle{ x_{i} \cdot x_{i}^{-1} =e}\)
Ale często będą zachodzić nietrywailne relacje, np. weź \(\displaystyle{ G =\ZZ \times \ZZ_2 = <x,y>}\), gdzie \(\displaystyle{ x =(0,1),y=(1,0)}\), wówczas mamy relację \(\displaystyle{ x^2 = e}\)
Z definicji grupy wolne, to grupy bez takich nietrywialnych relacji (stąd nazwa). Nie ma wielu takich grup - każde dwie, które mają minimalny zbiór generatorów tej samej mocy są ze sobą izomorficzne.

Czym jest grupa podstawowa?[

Podstawowy niezmiennik topologiczny. Mając przestrzeń topologiczną \(\displaystyle{ X}\)
patrzymy na odwzorowania \(\displaystyle{ (S^1,1) \rightarrow (X,x_0)}\) (\(\displaystyle{ x_0}\) jest wybranym punktem bazowym) dzielimy je przez relację homotopii (która musi zachowywać punkt bazowy).
Tak otrzymana struktura ma strukturę grupy, z reguły nieprzemiennej.
Da się pokazać (szczególny przypadek tw. Hurewicza ), że dla przestrzeni łukowo spójnej \(\displaystyle{ X}\) jej grupa podstawowa jest zabelianizowaną pierwszą grupą homologii o współczynnikach całkowitych.

Na temat rozmaitości ,,pierwszych" się nie wypowiem, bo nei wiem co to za zwierz.-- 28 sty 2018, o 23:35 --Dodam (w kontekście Twojego poprzedniego posta w tym dziale), że grupa podstawowa jest niezmiennikiem homotopii. Grupa podstawowa punktu jest trywialna, a grupa podstawowa okręgu to \(\displaystyle{ \ZZ}\) zatem okrąg nie może być homotopijnie równoważny z z punktem.