Zbiór zwarty w przestrzeni

[primax]

Witam. Mam problem z zadaniem. W przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{2}}\) dany jest kwadrat \(\displaystyle{ K=[0,1]×[0,1]}\). Czy \(\displaystyle{ K}\) jest zbiorem ośrodkowym i zwartym w przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{2}}\) z metryką rzeką? Kompletnie nie wiem jak to zrobić. Z prostą jeszcze dałbym radę bo wystarczyłoby podstawić liczbę za drugie wspołrzędne i w ten sposób metryka byłaby ograniczona liczbą dodatnią. Proszę o pomoc.

[a4karo]

Wsk. Jaka jest odległość między punktami \(\displaystyle{ (a,1/2)}\) i \(\displaystyle{ (b,1/2)}\) gdy \(\displaystyle{ a\neq b}\)?

[Premislav]

Zbiór ośrodkowy w metryce rzeka to nie jest, bo zauważ, że dla każdej prostej o równaniu \(\displaystyle{ x=c,\ c\in (0,1)}\) możemy wybrać taki np. zbiór:
\(\displaystyle{ \left\{ c\right\} \times\left( \frac{1}{4};\frac{3}{4}\right)=\left\{ (c,y): \ y \in \left( \frac{1}{4};\frac{3}{4}\right)\right\}}\)
W ten sposób wskażemy nieprzeliczalnie wiele parami rozłącznych i niepustych otwartych podzbiorów \(\displaystyle{ [0,1]\times[0,1]}\) z metryką rzeka.

[primax]

@a4karo
W metryce rzeka będzie to 0, gdy pierwsze współrzędne są równe oraz przez oszacowanie \(\displaystyle{ 1/2+1/2+|x_1-y_1|=1+|x_1-y_1| \ge 1}\). O to chodziło? Wówczas mówimy, że nie jest ośrodkowa. Ale jak to się ma do tego kwadratu?

[a4karo]

A dlaczego sądzisz, że zbiór takich punktów jest przeliczalny?

[primax]

@a4karo @Premislav
Troszeczkę sobie przemyślałem i doszedłem do takich wniosków.

Korzystając z twierdzenia, które mówi, że przestrzeń metryczna \(\displaystyle{ (R^2,\rho_r)}\) nie jest ośrodkowa, gdy istnieje nieprzeliczalny zbiór \(\displaystyle{ K}\) taki, że dla każdego \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) z tego zbioru \(\displaystyle{ \rho_r(x,y) \ge r}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) jest ustaloną liczbą dodatnią.

Zatem mamy zbiór \(\displaystyle{ K=[0,1]\times[0,1]}\), który jest nieprzeliczalny i dla dowolnego \(\displaystyle{ x,y\in K}\) mamy np. x\(\displaystyle{ =(1/4,1/2)}\) i y\(\displaystyle{ =(3/4,1/2)}\).

Wówczas dla \(\displaystyle{ x_1=y_1}\) mamy \(\displaystyle{ \rho_r(x,y)=}\)\(\displaystyle{ |1/2-1/2|=0}\) i dla różnych \(\displaystyle{ \rho_r(x,y)=}\)\(\displaystyle{ 1/2+1/2+1/2=3/2 \ge 0}\).

Wtedy nie jest ośrodkowa. Dobrze kombinuję?

[a4karo]

@a4karo @Premislav
Troszeczkę sobie przemyślałem i doszedłem do takich wniosków.

Korzystając z twierdzenia, które mówi, że przestrzeń metryczna \(\displaystyle{ (R^2,\rho_r)}\) nie jest ośrodkowa, gdy istnieje nieprzeliczalny zbiór \(\displaystyle{ K}\) taki, że dla każdego \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) z tego zbioru \(\displaystyle{ \rho_r(x,y) \ge r}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) jest ustaloną liczbą dodatnią.

To prawda

Zatem mamy zbiór \(\displaystyle{ K=[0,1]\times[0,1]}\), który jest nieprzeliczalny i dla dowolnego \(\displaystyle{ x,y\in K}\) mamy np. x\(\displaystyle{ =(1/4,1/2)}\) i y\(\displaystyle{ =(3/4,1/2)}\).

A to nie ma sensu: piszesz dla DOWOLNEGO \(\displaystyle{ x}\), a potem żądasz, żęby to był punkt o określonych współrzędnych.

Wówczas dla \(\displaystyle{ x_1=y_1}\) mamy \(\displaystyle{ \rho_r(x,y)=}\)\(\displaystyle{ |1/2-1/2|=0}\) i dla różnych \(\displaystyle{ \rho_r(x,y)=}\)\(\displaystyle{ 1/2+1/2+1/2=3/2 \ge 0}\).

Wtedy nie jest ośrodkowa. Dobrze kombinuję?

To, niestety jest dalszym ciągiem nieporozumienia z poprzedniego akapitu.

Przeczytaj jeszcze raz wskazówkę moją lub Premislava i opisz zbiór nieprzeliczalny i dyskretny w przestrzeni \(\displaystyle{ K}\)

[primax]

Przecież przestrzenią jest \(\displaystyle{ R ^{2}}\), a to \(\displaystyle{ K}\) jest zbiorem nieprzeliczalnym w tej przestrzeni.

[a4karo]

Zadanie polega na tym, żeby sprawdzić czy zbiór \(\displaystyle{ K}\) jako podprzestrzeń \(\displaystyle{ \RR^2}\) z metryką rzeka jest ośrodkowy

[primax]

Aha, faktycznie przeoczyłem to. Zasugerowałem się innym podobnym zadaniem.

Wracając do tematu.
Mam przestrzeń teraz \(\displaystyle{ K=[0,1]\times[0,1]}\).
Biorę teraz nieprzeliczalny zbiór \(\displaystyle{ A=\lbrace{(x_1,x_2)\inK: x_2=1/2\rbrace}}\). Wówczas dla \(\displaystyle{ x,y\inA}\) mamy \(\displaystyle{ x=(x_1,1/2)}\), \(\displaystyle{ y=(y_1,1/2)}\).

Zatem
\(\displaystyle{ \rho_r(x,y)=|1/2-1/2|=0}\) dla \(\displaystyle{ x_1=y_1}\) oraz \(\displaystyle{ \rho_r(x,y)=|1/2|+|1/2|+|x_1-y_1| \ge 1}\).

O to chodzi mniej więcej?

[a4karo]

OK

[primax]

Ok, dziękuję i życzę miłego wieczoru.