Czy ktoś mógłby wytłumaczyć mi na czym polega homotopijna rownoważność?
Np. X:[0,1] -> Y={0} jest homotopijne. Dlaczego? Co w przypadku, gdy \(\displaystyle{ X=S^{1}, Y={(x,y) \in R^{2} : 1 < x^{2} + y^{2} <4 }}\) albo \(\displaystyle{ Y={(x,y) \in R^{2} : x^{2}/4 + y^{2}/9}=1}}\)
Homotopijna równoważność.
-
leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Homotopijna równoważność.
W matematyce zawsze działa się w pewnym kontekście.
Chcesz badać przestrzenie wyposażone w pewną strukturę (np. topologię).
Interesują Cię tylko własności tej struktury.
Wobec tego badasz przekształcenia \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) które tę strukturę zachowują (np. homomorfizmy zachowują strukturę algebraiczną).
Naturalnie pojawia się pojęcie izomorfizmu, czyli przekształcenia ,,zachowującego strukturę", które ma swoją odwrotność. (prawdę mówiąc z niezmienników, które nie są niezmiennikami homotopii kojarzę tylko kohomologie ze zwartym nośnikiem, ale żaden ze mnie ekspert)
W przypadku topologii okazuje się (nie wiem jak to tak naprawdę historycznie było), że wiele niezmienników, własności przestrzeni topologicznych dobrze zachowuje się względem przekształceń wzjaemnie homotopijnych. Na przykład istnieje coś takiego jak grupy homologii.
Każdej przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ X}\) możesz przyporządkować grupę abelową oznaczaną przez \(\displaystyle{ H_{n}(X)}\) (dla dowolnego n) i dowolne przekształcenie ciągłe \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) indukuje homomorfizm \(\displaystyle{ f^{*}:H_{n}(X) \rightarrow H_{n}(Y)}\).
Okazuje się, że jeśli \(\displaystyle{ g :X \rightarrow Y}\) jest homotopijne z \(\displaystyle{ f}\), to \(\displaystyle{ g^{*} = f^{*}}\) !
Teraz ważne ćwiczenie. Pokażemy, że dwie homotopijnie równoważne przestrzenie topologiczne mają izomorficzne(te same) grupy homologii!
Weźmy \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y; g:Y \rightarrow X}\) będące swoimi homotopijnymi odwrotnościami.
Wówczas \(\displaystyle{ g \circ f}\) jest homotopijnie równoważne z identycznością. Zatem \(\displaystyle{ g^{*} \circ f^{*} = id_{H_{n}(X)}}\) i symetrycznie \(\displaystyle{ f^{*} \circ g^{*} = id_{H_{n}(Y)}}\). (pewne dziury w rozumowaniu tu są, ale chodzi o ideę)
Zatem widzisz, że pojęcie homotopijnej równoważności ma sens.
No to weźmy na przykład \(\displaystyle{ g:Y \rightarrow X}\) \(\displaystyle{ g(0) = 0.5}\)
Chcemy pokazać, że są swoimi homotopijnymi odwrotnościami.
Jasne jest, że \(\displaystyle{ f \circ g = id}\)
Wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ g \circ f}\) jest homotopijne z \(\displaystyle{ id_{X}}\).
\(\displaystyle{ g \circ f (x) = 0.5}\).
Szukamy przekształcenia \(\displaystyle{ H:X \times I \rightarrow X}\) takiego, że \(\displaystyle{ H(x,0) = id ,H(x,1) =0.5}\)
Ja proponuję następujące \(\displaystyle{ H(x,t) = (1-t)x + 0.5 \cdot t}\).
hint
Natomiast okrąg już nie jest homotopijnie równoważny z \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\), ale to już jest nietrywialne.
Chcesz badać przestrzenie wyposażone w pewną strukturę (np. topologię).
Interesują Cię tylko własności tej struktury.
Wobec tego badasz przekształcenia \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) które tę strukturę zachowują (np. homomorfizmy zachowują strukturę algebraiczną).
Naturalnie pojawia się pojęcie izomorfizmu, czyli przekształcenia ,,zachowującego strukturę", które ma swoją odwrotność. (prawdę mówiąc z niezmienników, które nie są niezmiennikami homotopii kojarzę tylko kohomologie ze zwartym nośnikiem, ale żaden ze mnie ekspert)
W przypadku topologii okazuje się (nie wiem jak to tak naprawdę historycznie było), że wiele niezmienników, własności przestrzeni topologicznych dobrze zachowuje się względem przekształceń wzjaemnie homotopijnych. Na przykład istnieje coś takiego jak grupy homologii.
Każdej przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ X}\) możesz przyporządkować grupę abelową oznaczaną przez \(\displaystyle{ H_{n}(X)}\) (dla dowolnego n) i dowolne przekształcenie ciągłe \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) indukuje homomorfizm \(\displaystyle{ f^{*}:H_{n}(X) \rightarrow H_{n}(Y)}\).
Okazuje się, że jeśli \(\displaystyle{ g :X \rightarrow Y}\) jest homotopijne z \(\displaystyle{ f}\), to \(\displaystyle{ g^{*} = f^{*}}\) !
Teraz ważne ćwiczenie. Pokażemy, że dwie homotopijnie równoważne przestrzenie topologiczne mają izomorficzne(te same) grupy homologii!
Weźmy \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y; g:Y \rightarrow X}\) będące swoimi homotopijnymi odwrotnościami.
Wówczas \(\displaystyle{ g \circ f}\) jest homotopijnie równoważne z identycznością. Zatem \(\displaystyle{ g^{*} \circ f^{*} = id_{H_{n}(X)}}\) i symetrycznie \(\displaystyle{ f^{*} \circ g^{*} = id_{H_{n}(Y)}}\). (pewne dziury w rozumowaniu tu są, ale chodzi o ideę)
Zatem widzisz, że pojęcie homotopijnej równoważności ma sens.
Musisz znaleźć homotopijną odwrotność do przekształcenia \(\displaystyle{ X: [0,1] \rightarrow \left\{ 0\right\}}\)Np. \(\displaystyle{ X:[0,1] -> Y={0}}\)jest homotopijne. Dlaczego?
No to weźmy na przykład \(\displaystyle{ g:Y \rightarrow X}\) \(\displaystyle{ g(0) = 0.5}\)
Chcemy pokazać, że są swoimi homotopijnymi odwrotnościami.
Jasne jest, że \(\displaystyle{ f \circ g = id}\)
Wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ g \circ f}\) jest homotopijne z \(\displaystyle{ id_{X}}\).
\(\displaystyle{ g \circ f (x) = 0.5}\).
Szukamy przekształcenia \(\displaystyle{ H:X \times I \rightarrow X}\) takiego, że \(\displaystyle{ H(x,0) = id ,H(x,1) =0.5}\)
Ja proponuję następujące \(\displaystyle{ H(x,t) = (1-t)x + 0.5 \cdot t}\).
Ten dysk też jest homotopijnie równoważny z \(\displaystyle{ Y}\)\(\displaystyle{ Y={(x,y) \in R^{2} : 1 < x^{2} + y^{2} <4 }}\)
hint
Ukryta treść:
To jest nawet homeomorficzne z \(\displaystyle{ S^1}\)\(\displaystyle{ {(x,y) \in R^{2} : x^{2}/4 + y^{2}/9}=1}}\)