Spójna przestrzeń metryczna

[max123321]

Wykazać, że przestrzeń metryczna z metryką rzeka lub kolej jest spójna.

Nie ma tu nic mowy o zbiorze na jakim rozpatrujemy tą metrykę, nie wiem czy to istotne, ale chyba można założyć, że na \(\displaystyle{ \RR^2}\)?

To tak jakby trzeba było pokazać, że zbiór \(\displaystyle{ \RR^2}\) jest spójny?

[leg14]

Pokaż, że jest łukowo spójny

[max123321]

\(\displaystyle{ \RR^2}\)? No to jeśli weźmiemy dowolny \(\displaystyle{ (a,b) \in \RR^2}\) i \(\displaystyle{ (x,y) \in \RR^2}\)
to można utworzyć drogę między nimi: \(\displaystyle{ \lambda (a,b)+(1-\lambda)(x,y)}\),\(\displaystyle{ \lambda \in \left[ 0,1\right]}\). O to chodzi?

[leg14]

A czy taka droga jest ciągła w metryce kolejowej i reka?

[max123321]

Aha no dobra, to poprawka:
Dla kolei: \(\displaystyle{ (1-2\lambda )(a,b)}\) dla \(\displaystyle{ \lambda \in \left[ 0,1/2\right]}\)
i \(\displaystyle{ (2\lambda -1)(x,y)}\) dla \(\displaystyle{ \lambda \in \left(1/2,1\right]}\)
Tak jest ok?

[leg14]

Tak, ale to działa tylko dla kolejowej