Przecięcie rodziny zstępującej

[relic]

Witam,

\(\displaystyle{ ...A_n \subseteq ... \subseteq A_2 \subseteq A_1}\) są niepustymi zbiorami domkniętymi w przestrzeni metrycznej zupełnej i \(\displaystyle{ A_i}\) jest sumą skonczenie wielu zbiorów o średnicach mniejszych niż \(\displaystyle{ \frac{1}{i} \forall i \in \mathbb N}\).

Trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ \bigcap_{\infinity}^{j=1} Y_j}\) jest niepuste i zwarte.


Ze zwartością nie ma problemu, gorzej z niepustością.
Skoro te zbiory są domknięte i są sumą skończonej ilości zbiorów ograniczonych, to są zwarte, więc z każdego pokrycia mogę wybrać podpokrycie skończone.

Jak pokryje zbiór \(\displaystyle{ Y_i}\) kulami o promieniach \(\displaystyle{ \frac{1}{i}}\), to wybiore skończoną ilość kul, potem te kule domknę. Dla każdego \(\displaystyle{ i \in \mathbb N}\) wybiore takie kule domknięte.
W efekcie będę mógł utworzyć przeliczalnie wiele ciągów zstępujących o średnicach dążących do 0, wystraczy, że bede brał przecięcia igreków z kulami domkniętymi. No w koncu każdy z igreków jest niepusty, a przestrzeń w której jestem zupełna, więć to przecięcie tych przecięć będzie niepuste.
Jak to formalnie zapisać??

[Spektralny]

Skoro te zbiory są domknięte i są sumą skończonej ilości zbiorów ograniczonych, to są zwarte, więc z każdego pokrycia mogę wybrać podpokrycie skończone.

Domknięty zbiór ograniczony w przestrzeni zupełnej nie musi być zwarty. Stosownym przykładem jest kula jednostkowa dowolnej nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha.

[relic]

To moze jakąś wskazówkę małą ktoś zostawi, jak wybrać domknięte podzbiory tej rodziny?