Spójność przestrzeni z z tylko jedną funkcją ciągłą

[Mlody Banach]

Mam problem z następującym zadaniem.
Niech\(\displaystyle{ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) i \(\displaystyle{ g : \mathbb{R} \rightarrow
\mathbb{R}}\) będą funkcjami prostej euklidesowej w siebie, spełniającymi nierówność \(\displaystyle{ f\left( x) \le g\left( x\right) \right)}\)dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) i niech \(\displaystyle{ S=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2} : f\left( x) \le y \le g\left( x\right) \right\}}\). Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją ciągłą, to zbiór \(\displaystyle{ S}\) jest spójny na płaszczyźnie euklidesowej.
Widzę, że \(\displaystyle{ y \in I\left( f\left( x\right), g\left( x\right) \right)}\). A to się zapisze jako\(\displaystyle{ (1-t)f(x)+t \cdot g (x)}\) dla \(\displaystyle{ t \in \left[ 0,1\right]}\), ale nie mam pojęcia jak to dalej ruszyć.. Pomoże ktoś?

Edit: Oczywiście nie chodzi mi o funkcje tangens tylko o \(\displaystyle{ t \cdot g (x)}\)

[Dasio11]

Wskazówka: każde dwa punkty \(\displaystyle{ S}\) można połączyć krzywą złożoną z co najwyżej trzech (oddzielnie zdefiniowanych) łuków.

[Mlody Banach]

Nie rozumiem wskazówki, można prosić troszkę inaczej?

[Dasio11]

Aby wykazać, że przestrzeń \(\displaystyle{ S}\) jest spójna, wystarczy wykazać, że jest drogowo spójna, czyli że dla dowolnych \(\displaystyle{ a, b \in S}\) istnieje funkcja ciągła \(\displaystyle{ \varphi : [0, 1] \to S,}\) taka że \(\displaystyle{ \varphi(0) = a}\) oraz \(\displaystyle{ \varphi(1) = b.}\) Mówi się wtedy, że droga \(\displaystyle{ \varphi}\) łączy punkty \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b.}\) Czy potrafisz znaleźć taką drogę dla dowolnych \(\displaystyle{ a, b \in S}\)?

[Mlody Banach]

Próbuję stworzyć taką drogę ale coś mi nie wychodzi... To ma być jakaś funkcja klamrowa? I gdzie wykorzystać założenie ciągłości \(\displaystyle{ f}\)?

[Dasio11]

Droga \(\displaystyle{ (x, u) \longrightarrow (y, v)}\) ma się składać z trzech kawałków:

\(\displaystyle{ (x, u) \longrightarrow (x, f(x)) \longrightarrow (y, f(y)) \longrightarrow (y, v)}\)