Metryka kolejowa i rzeka

[max123321]

Niech \(\displaystyle{ a=\left( 0,2\right),b=(1,2) \in \RR^2}\). Wyjaśnić, podając uzasadnienie, które z podanych punktów \(\displaystyle{ a,b}\) są punktami ciągłości funkcji: \(\displaystyle{ f:\RR^2 \rightarrow \RR^2}\) określonej wzorem \(\displaystyle{ f(x,y)=(x,x^2+1)}\) z przesztrzeni \(\displaystyle{ \left( \RR^2,T(d_k)\right)}\) w przestrzeń \(\displaystyle{ \left( \RR^2,T(d_r)\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ d_k}\) jest metryką kolejową, a \(\displaystyle{ d_r}\) metryką rzeka.

No to robię tak: \(\displaystyle{ a=(0,2)}\), \(\displaystyle{ f(0,2)=(0,1)}\). Otoczenie \(\displaystyle{ f(a)}\) niech będzie \(\displaystyle{ U=\left\{ (x,y):x=0,1-\epsilon<y<1+\epsilon\right\}}\) dla dowolnego epsilona dodatniego. Otoczenie \(\displaystyle{ a}\) niech będzie \(\displaystyle{ V=\left\{ (x,y):x=0, 2-\epsilon/2<y<2+\epsilon/2\right\}}\). \(\displaystyle{ f(V)=\left\{ (x,y):x=0,y=1\right\}}\). No zatem widać, że \(\displaystyle{ f(V) \subset V}\).
Czyli \(\displaystyle{ a}\) jest punktem ciągłości.

Teraz \(\displaystyle{ b=(1,2),f(1,2)=(1,2)}\). Weźmy otoczenie \(\displaystyle{ f(b)}\) równe \(\displaystyle{ U=\left\{ (x,y):x=1,3/2<y<5/2\right\}}\). Dowolne otoczenie \(\displaystyle{ b}\) niech będzie równe \(\displaystyle{ V=\left\{ (x,y):1-\epsilon<x<1+\epsilon,2-2\epsilon<y<2+2\epsilon\right\}}\). \(\displaystyle{ f(V)=\left\{ (x,y):1-\epsilon<x<1+\epsilon,2-2\epsilon-\epsilon^2<y<2+2\epsilon+\epsilon^2\right\}}\), zatem \(\displaystyle{ f(V)}\) nie zawiera się w \(\displaystyle{ U}\).

Tak jest dobrze?

[matmatmm]

No to robię tak: \(\displaystyle{ a=(0,2)}\), \(\displaystyle{ f(0,2)=(0,1)}\). Otoczenie \(\displaystyle{ f(a)}\) niech będzie \(\displaystyle{ U=\left\{ (x,y):x=0,1-\epsilon<y<1+\epsilon\right\}}\) dla dowolnego epsilona dodatniego.

Jest tu pewna nieścisłość. Powinieneś ustalić \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) i rozważyć kulę o środku w punkie \(\displaystyle{ f(a)}\) o promieniu \(\displaystyle{ \epsilon}\). Jeśli \(\displaystyle{ \epsilon\le 1}\), to ta kula jest równa właśnie twojemu zbiorowi \(\displaystyle{ U}\). Jeśli natomiast \(\displaystyle{ \epsilon> 1}\), to wygląda ona inaczej.

Otoczenie \(\displaystyle{ a}\) niech będzie \(\displaystyle{ V=\left\{ (x,y):x=0, 2-\epsilon/2<y<2+\epsilon/2\right\}}\). \(\displaystyle{ f(V)=\left\{ (x,y):x=0,y=1\right\}}\). No zatem widać, że \(\displaystyle{ f(V) \subset V}\).

Tutaj mamy podobny problem. Musisz wskazać kulę o środku w punkcie \(\displaystyle{ a}\), aby zachodziło odpowiednie zawieranie. Jeśli promień \(\displaystyle{ \delta}\) tej kuli jest mniejszy bądź równy \(\displaystyle{ 2}\), to jest ona równa \(\displaystyle{ V=\left\{ (x,y):x=0, 2-\delta<y<2+\delta\right\}}\) i wówczas \(\displaystyle{ f(V)=\left\{ (x,y):x=0,y=1\right\}}\). Jeśli natomiast \(\displaystyle{ \delta>2}\), to ta kula wygląda inaczej i dowód się sypie.

Teraz \(\displaystyle{ b=(1,2),f(1,2)=(1,2)}\). Weźmy otoczenie \(\displaystyle{ f(b)}\) równe \(\displaystyle{ U=\left\{ (x,y):x=1,3/2<y<5/2\right\}}\). Dowolne otoczenie \(\displaystyle{ b}\) niech będzie równe \(\displaystyle{ V=\left\{ (x,y):1-\epsilon<x<1+\epsilon,2-2\epsilon<y<2+2\epsilon\right\}}\). .

To nie jest otoczenie \(\displaystyle{ b}\).

[max123321]

Czyli mówisz, że trzeba jeszcze rozumowanie przeprowadzić dla dużych kul ta? A dla małych jest dobrze?

Otoczenie powinno być \(\displaystyle{ V=\left\{ (x,y):1-\epsilon<x<1+\epsilon,y=2x\right\}}\) tak?

[a4karo]

Dla badania ciągłości w punkcie wystarczy ograniczyć się do małych kul

[max123321]

Czyli dobrze było?

[matmatmm]

Tam było napisane "dla dowolnego epsilona dodatniego". Istotnie można się ograniczyć do małych kul, ale wtedy trzeba napisać na przykład "bez straty ogólności załóżmy, że \(\displaystyle{ \epsilon\le 1}\)". No i dobrze jest wiedzieć dlaczego tak można. A w tym konkretnym przykładzie to postać tej kuli jest tak naprawdę nieistotna, bo potem wychodzi na to, że \(\displaystyle{ f(V)=\{(0,1)\}}\), a to zawsze zawiera się w kuli o środku \(\displaystyle{ (0,1)}\).

Otoczenie powinno być \(\displaystyle{ V=\left\{ (x,y):1-\epsilon<x<1+\epsilon,y=2x\right\}}\) tak?

Powinieneś ustalić kulę o środku w \(\displaystyle{ (1,2)}\). W dowolnej takiej kuli zawiera się zbiór podanej przez ciebie postaci dla pewnego \(\displaystyle{ \epsilon}\), więc ok.

Teraz \(\displaystyle{ b=(1,2),f(1,2)=(1,2)}\). Weźmy otoczenie \(\displaystyle{ f(b)}\) równe \(\displaystyle{ U=\left\{ (x,y):x=1,3/2<y<5/2\right\}}\). Dowolne otoczenie \(\displaystyle{ b}\) niech będzie równe \(\displaystyle{ V=\left\{ (x,y):1-\epsilon<x<1+\epsilon,2-2\epsilon<y<2+2\epsilon\right\}}\). .

To nie jest otoczenie \(\displaystyle{ b}\).

Tutaj trochę namieszałem, bo podany przez ciebie zbiór był otoczeniem \(\displaystyle{ b}\), ale nie dowolnym tzn. nie każde otoczenie jest takiej postaci.

[a4karo]

Tam było napisane "dla dowolnego epsilona dodatniego". Istotnie można się ograniczyć do małych kul, ale wtedy trzeba napisać na przykład "bez straty ogólności załóżmy, że \(\displaystyle{ \epsilon\le 1}\)". No i dobrze jest wiedzieć dlaczego tak można.
.

Trochę się czepiasz, nieprawdaż? Jeśli bowiem dla pewnego epsilona znajdziemy deltę, to jest ona dobra dla wszystkich epsilonów większych