Podprzestrzenie zupełne

[Mlody Banach]

Witam, mam następujące zadanie i nie mam pomysłu jak się do niego zabrać.
Które z następujących płaszczyzn euklidesowych są metryzowalne w sposób zupełny?
a) \(\displaystyle{ X=\left\{ \left( x,y \right) \in \mathbb{R} ^{2} : 0 <x ^{2}+y ^{2}<1 \right\}}\)
b) \(\displaystyle{ Y=\left\{ \left( x,y \right) \in \mathbb{R} ^{2} : \sqrt{x ^{2}+y ^{2}} \in \mathbb{Q} \right\}}\).
Dzięki z góry za pomoc.

[Spektralny]

Twierdzenie Aleksandrowa rozstrzyga sprawę: podzbiór przestrzeni polskiej jest metryzowalny w sposób zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy jest on typu \(\displaystyle{ G_\delta}\).

Zbiór z pierwszego przykładu jest otwarty, a więc \(\displaystyle{ G_\delta}\). Co do drugiego przykładu, możnaby próbować pokazać, że nie jest on przestrzenią Baire'a (tj. nie spełnia on tezy twierdzenia Baire'a, które jest przecież prawdziwe w przestrzeniach zupłenych).

[Mlody Banach]

Twierdzenie Baire'a znam, , twierdzenia Aleksandrowa nie i nie będę mógł użyć go na egzaminie, a tego typu zadania lubią się tam pojawiać. Masz może jakiś pomysł jak udowodnić 1. bez tego twierdzenia?
Jeśli chodzi o 2. to może tak:
\(\displaystyle{ Y=\left\{ \left( x,y \right) \in \mathbb{R} ^{2} : \sqrt{x ^{2}+y ^{2}} \in \mathbb{Q} \right\} \Rightarrow Y=\left\{ \left( x,y \right) \in \mathbb{R} ^{2} : \sqrt{x ^{2}+y ^{2}} = q, q \in \mathbb{Q} \right\}= \bigcup _{q \in \mathbb{Q}} \left\{ \left( x,y \right) \in \mathbb{R} ^{2} : \sqrt{x ^{2}+y ^{2}} = q \right\}}\),
każdy taki w środku jest brzegowy, ale ich przeliczalna suma nie, bo dowolna kula wokół takiego punktu przecina inną kulę z tego zbioru, więc ten \(\displaystyle{ Y}\) nie jest zupełny?

[Spektralny]

Zbiór z pierwszego przypadku to nic innego jak koło otwarte. Wystarczy wskazać homeomorfizm tego koła z całą płaszczyzną, która jest przecież zupełna. Odwzorowanie

• \(\displaystyle{ (x,y)\mapsto \frac{1}{\|(x,y)\|+1} (x,y)\quad ((x,y)\in X)}\)

powinno załatwić sprawę.

ght}[/latex],
każdy taki w środku jest brzegowy, ale ich przeliczalna suma nie, bo dowolna kula wokół takiego punktu przecina inną kulę z tego zbioru, więc ten \(\displaystyle{ Y}\) nie jest zupełny?

To, że nie jest zupełny to widać gołym okiem. Chodzi o to by uzasadnić, że nie jest on metryzowalny w sposób zupełny.

[Mlody Banach]

W 1. jest koło otwarte, ale bez środka, to nie ma wpływu na wynik?
Ad. 2: Czyli mam wykazać, że nie istnieje metryka, w której jest zupełny, tak? Jak zacząć taki dowód?

[Spektralny]

W 1. jest koło otwarte, ale bez środka, to nie ma wpływu na wynik?

Rzeczywiście, nie zauważyłem.

Ad. 2: Czyli mam wykazać, że nie istnieje metryka, w której jest zupełny, tak? Jak zacząć taki dowód?

Nie rozumiem pytania. Przestrzeń jest metryzowalna w sposób zupełny dokładnie wtedy, gdy jest homeomorficzna z przestrzenią zupełną.

[Mlody Banach]

Hmm ale czy nie wystarczy pokazać, że nie jest zupełna, więc nie może być homeomorficzna z przestrzenią zupełną? Czy coś pokręciłem? Wiem że przekształcenia ciągłe przenoszą spójność, nie wiem jak z zupełnością...

[Spektralny]

Hmm ale czy nie wystarczy pokazać, że nie jest zupełna, więc nie może być homeomorficzna z przestrzenią zupełną?

Odcinek \(\displaystyle{ (0,1)}\) jest homeomorficzny z \(\displaystyle{ \mathbb R}\). Zupełność nie jest własnością topologiczną.

[Mlody Banach]

To jak wykazać że nie isntnieje taki homeomorfizm między tą przestrzenią a przestrzenią zupełną?

[Spektralny]

To jak wykazać że nie isntnieje taki homeomorfizm między tą przestrzenią a przestrzenią zupełną?

O którym zadaniu mowa? W pierwszym przypadku taki homeomorfizm istnieje, ale nie widzę prostego dowodu, który by nie był de facto modyfikacją dowodu twierdzenia Aleksandrowa.

W drugim przypadku należy uzasadnić, że przestrzeń nie spełnia tezy twierdzenia Baire'a.

[Mlody Banach]

Chodzi mi o 2. Bo twierdzenie Baire'a mówi, że w przestrzeni zupełnej przeliczalna suma zbiorów domkniętych brzegowych jest brzegowa. Wydaje mi się, że pokazałem, że każdy z elementów sumy jest brzegowy (nie wiem jak pokazać domkniętość), ale suma przeliczalna nie jest brzegowa, więc założenie twierdzenia Baire'a nie o zupełności nie jest spełnione. Czyli to powinien być koniec (jeśli bym jakoś udowodnił tę domkniętość), ale chyba nie jest...

[Spektralny]

Bo twierdzenie Baire'a mówi, że w przestrzeni zupełnej przeliczalna suma zbiorów domkniętych brzegowych jest brzegowa. Wydaje mi się, że pokazałem, że każdy z elementów sumy jest brzegowy (nie wiem jak pokazać domkniętość), ale suma przeliczalna nie jest brzegowa, więc założenie twierdzenia Baire'a nie o zupełności nie jest spełnione. Czyli to powinien być koniec (jeśli bym jakoś udowodnił tę domkniętość), ale chyba nie jest...

Dobrze kombinujesz. Co do domkniętości, funkcja \(\displaystyle{ f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}}\) jest ciągła. Interesują Cię zatem zbiory \(\displaystyle{ f^{-1}(\{q\})}\), które są domknięte, bo zbiory jednoelementowe są domknięte. To kończy dowód, co właśnie uzasadniłeś. Dobrze by było, żebyś jeszcze jakoś wytłumaczył tę brzegowość i będzie wszystko.

[Dasio11]

A w pierwszym można wskazać homeomorfizm tej przestrzeni oraz \(\displaystyle{ \mathbb{S}^1 \times \RR.}\)