Strona 1 z 1
W imię pokoju
: 24 sty 2018, o 13:03
autor: Dasio11
11 listopada ulicami Warszawy przejdą Marsz Niepodległości i pochód Koalicji Antyfaszystowskiej. Pod naciskiem MSWiA organizatorzy postanowili porozumieć się w sprawie ustalenia czasu i trasy marszów w taki sposób, aby nie doszło do zamieszek. Niestety, jak donoszą informatorzy ministra, nie całkiem pokojowo nastawiona grupa uczestników jednej z organizacji planuje usytuować (oczywiście incognito) swoich członków na czołach obu marszów wraz z szerokimi transparentami, co pozwoli im przejąć całkowitą kontrolę nad tempem pochodów - organizatorzy nie mogą zatem z pewnością stwierdzić, o której godzinie dany marsz kroczyć będzie danym fragmentem trasy. Co gorsza, ogłoszono już wcześniej, iż trasa Marszu Niepodległości rozpocznie się w punkcie \(\displaystyle{ A}\) i zakończy w punkcie \(\displaystyle{ C,}\) podczas gdy antyfaszyści przejdą od punktu \(\displaystyle{ B}\) do punktu \(\displaystyle{ D.}\) Dla uproszczenia zakładamy, że Warszawa ma kształt prostokąta a trasy marszów nie są ograniczone przez budynki, parki, itd. Punkty krańcowe pochodów zaznaczono na poniższym rysunku:
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (0, 0) node [below left] { $A$ }
-- (3, 0) node [below right] { $B$ }
-- (3, 2) node [above right] {$C$ }
-- (0, 2) node [above left] {$D$ }
-- (0, 0);
\fill (0, 0) circle [radius=0.05];
\fill (3, 0) circle [radius=0.05];
\fill (3, 2) circle [radius=0.05];
\fill (-0, 2) circle [radius=0.05];
\end{tikzpicture}}\)
Czy organizatorom uda się zagwarantować bezpieczeństwo uczestnikom obu manifestacji?
Re: W imię pokoju
: 11 kwie 2018, o 09:23
autor: Dasio11
Żeby usunąć ewentualnie wątpliwości, dołączam czysto matematyczne sformułowanie: niech \(\displaystyle{ I = [0, 1]}\) oraz niech \(\displaystyle{ R}\) będzie domkniętym prostokątem o wierzchołkach \(\displaystyle{ A, B, C, D,}\) w kolejności jak na rysunku. Czy istnieją funkcje ciągłe \(\displaystyle{ \alpha, \beta : I \to R,}\) takie że \(\displaystyle{ \alpha(0) = A, \alpha(1) = C, \beta(0) = B, \beta(1) = D}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha \cap \beta = \varnothing}\) ?
Re: W imię pokoju
: 11 kwie 2018, o 09:54
autor: bartek118
Myślę, że potrafię udowodnić, że takie ciągłe krzywe nie istnieją.
Można jednak połączyć te punkty zbiorami spójnymi.
Re: W imię pokoju
: 11 kwie 2018, o 11:48
autor: Dasio11
Jak?
Re: W imię pokoju
: 11 kwie 2018, o 12:34
autor: bartek118
Zbiory spójne:
Bez straty ogólności niech
\(\displaystyle{ ABCD}\) będzie kwadratem jednostkowym,
\(\displaystyle{ A=(0,0)}\),
\(\displaystyle{ B=(1,0)}\),
\(\displaystyle{ C=(1,1)}\) i
\(\displaystyle{ D=(0,1)}\).
Niech
\(\displaystyle{ f : (0,1] \rightarrow \RR}\) będzie dana wzorem
\(\displaystyle{ f(x) = \sin \left( \frac{1}{x} \right)}\). Przeciągnijmy teraz odcinek
\(\displaystyle{ (0,1]}\) na odcinek łączący punkt
\(\displaystyle{ A = (0,0)}\) z
\(\displaystyle{ S = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)}\) w taki sposób, że punkt
\(\displaystyle{ 1}\) odpowiada
\(\displaystyle{ A}\), zaś
\(\displaystyle{ 0}\) punktowi
\(\displaystyle{ S}\) i narysujmy na tym odcinku wykres funkcji
\(\displaystyle{ f}\) (być może trzeba podzielić przez jakąś stałą tak, aby zmieścił się w kwadracie). Analogicznie z drugiej strony na odcinku
\(\displaystyle{ SC}\). jako pierwszy zbiór
\(\displaystyle{ K_1}\) bierzemy te dwa wykresy i punkt
\(\displaystyle{ S}\). Wtedy zbiór
\(\displaystyle{ K_1}\) jest spójnym podzbiorem kwadratu i zawiera
\(\displaystyle{ A}\) oraz
\(\displaystyle{ C}\).
Jeżeli teraz popatrzysz na przekątną jako dziedzinę funkcji, a
\(\displaystyle{ K_1}\) jako jej wykres, to wykres jest spójny, a funkcja nieciągła (w punkcie
\(\displaystyle{ S}\)). Czyli dopełnienie wykresu jest spójne, co oznacza, że
\(\displaystyle{ K_2}\) zdefiniowany jako dopełnienie
\(\displaystyle{ K_1}\) w kwadracie jest spójne.
Nieistnienie krzywych:
Przypuśćmy, że takie funkcje
\(\displaystyle{ \alpha}\) i
\(\displaystyle{ \beta}\) istnieją.
Określmy
\(\displaystyle{ h : [0,1]^2 \rightarrow S(0,1)}\) wzorem
\(\displaystyle{ h(s,t) = \frac{\alpha(s) - \beta(t)}{|\alpha(s) - \beta(t)|}}\)
Określmy
\(\displaystyle{ \alpha_1 (t) = \chi_{0 \leq t \leq 1/2} (t) (0,2t) + \chi_{1/2 < t \leq 1}(t) (2t-1,1), \\
\alpha_2 (t) = \chi_{0 \leq t \leq 1/2} (t) (2t,0) + \chi_{1/2 < t \leq 1}(t) (1, 2t-1),}\)
czyli idziemy po obwodzie kwadratu z
\(\displaystyle{ A}\) do
\(\displaystyle{ C}\) (na dwa sposoby). Jednak obrazy tych dróg przez
\(\displaystyle{ h}\) to drogi na okręgu - jedna idąca 'w górę' po lewym półłuku, druga idąca 'w dół' po prawym półłuku, zaś
\(\displaystyle{ h}\) stanowi homotopię dla tych dróg - sprzeczność.
-- 12 kwi 2018, o 20:10 --
Dasio11, ma to jakiś sens?
Czy gdzieś się mylę?
Re: W imię pokoju
: 14 kwie 2018, o 11:30
autor: Dasio11
Pierwsze rozwiązanie poprawne, a do tego sam fakt jest ciekawy. Dzięki.
W drugim parę nieścisłości:
bartek118 pisze:Jednak obrazy tych dróg przez \(\displaystyle{ h}\) to drogi na okręgu - jedna idąca 'w górę' po lewym półłuku, druga idąca 'w dół' po prawym półłuku,
Obie drogi idą z lewej do prawej - jedna dołem, druga górą.
bartek118 pisze:zaś \(\displaystyle{ h}\) stanowi homotopię dla tych dróg
Formalnie nie, ale mając
\(\displaystyle{ h,}\) łatwo taką homotopię skonstruować.
Te błędy są oczywiście nieistotne, a rozwiązanie jako całość jest bardzo dobre.
Re: W imię pokoju
: 1 maja 2018, o 10:02
autor: Dasio11
Ok, a czy istnieje funkcja ciągła \(\displaystyle{ \alpha : [0, 1] \to R}\) i zbiór spójny \(\displaystyle{ S \subseteq R,}\) takie że
\(\displaystyle{ \bullet \, \alpha(0) = A, \, \alpha(1) = C}\)
\(\displaystyle{ \bullet \, \{ B, D \} \subseteq S}\)
\(\displaystyle{ \bullet \, S \cap \alpha \big[ [0, 1] \big] = \varnothing}\) ?
Re: W imię pokoju
: 3 maja 2018, o 11:09
autor: bartek118
Dasio11 pisze:Ok, a czy istnieje funkcja ciągła \(\displaystyle{ \alpha : [0, 1] \to R}\) i zbiór spójny \(\displaystyle{ S \subseteq R,}\) takie że
\(\displaystyle{ \bullet \, \alpha(0) = A, \, \alpha(1) = C}\)
\(\displaystyle{ \bullet \, \{ B, D \} \subseteq S}\)
\(\displaystyle{ \bullet \, S \cap \alpha \big[ [0, 1] \big] = \varnothing}\) ?
Taka kombinacja? Hm... muszę pomyśleć nad tym; nie znam odpowiedzi.
Re: W imię pokoju
: 11 maja 2018, o 16:20
autor: Dasio11
Re: W imię pokoju
: 11 maja 2018, o 16:22
autor: bartek118
Dasio11 pisze:Hint: Otwarty, spójny podzbiór \(\displaystyle{ R}\) jest łukowo spójny.
Czyli zdaje się, że nie jest to możliwe