Zbiory rozgraniczone

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
insanis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 147
Rejestracja: 26 paź 2014, o 13:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 33 razy

Zbiory rozgraniczone

Post autor: insanis »

Niech A i B będą zbiorami rozgraniczonymi, czyli \(\displaystyle{ A \cap \overline {B} = \emptyset}\) oraz \(\displaystyle{ \overline{A} \cap B = \emptyset}\).

Pokazać, że wtedy \(\displaystyle{ \mathrm{bd}(A \cup B) = \mathrm{bd} \, A \cup \mathrm{bd} \, B}\)
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Zbiory rozgraniczone

Post autor: bartek118 »

W czym problem?

Z definicji \(\displaystyle{ \mathrm{bd} (A \cup B) = \overline{A \cup B} \cap \overline{X \setminus (A \cup B)}}\).
Z drugiej strony
\(\displaystyle{ \mathrm{bd} \, A \cup \mathrm{bd} \, B = ( \overline{A} \cap \overline{X \setminus A} ) \cup ( \overline{B} \cap \overline{X \setminus B} )}\)
Dalej trzeba użyć praw de Morgana i własności domknięcia, żeby przejść od jednego do drugiego.
insanis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 147
Rejestracja: 26 paź 2014, o 13:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 33 razy

Zbiory rozgraniczone

Post autor: insanis »

\(\displaystyle{ \mathrm{bd} \left( A \cup B\right)
= \overline{ A \cup B} ~ \cap ~ \overline {\left( A \cup B\right) '}
= \left( \overline{ A } \cup \overline {B}\right) ~ \cap ~ \overline{A' \cap B'}
= \left( \overline A \cap \overline{A' \cap B'}\right) ~ \cup ~ \left( \overline {B} \cap \overline{A' \cap B'}\right)}\)


Nie wiem za bardzo co dalej i jak wykorzystać to, że zbiory są rozgraniczone.
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Zbiory rozgraniczone

Post autor: bartek118 »

OK; faktycznie - idzie to nieco trudniej. Coś co widać z Twoich rachunków:
\(\displaystyle{ \mathrm{bd} (A \cup B) \subset \mathrm{bd} (A) \cup \mathrm{bd} (B)}\)

Dalej - jeśli \(\displaystyle{ x \not\in \mathrm{bd} (A \cup B)}\), to rozpatrz dwa przypadki:
- jeśli \(\displaystyle{ x \not\in \overline{A \cup B}}\),
- jeśli \(\displaystyle{ x \not\in \overline{X \setminus (A \cup B)}}\).

W drugim przypadku wykorzystasz rozgraniczoność.
insanis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 147
Rejestracja: 26 paź 2014, o 13:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 33 razy

Zbiory rozgraniczone

Post autor: insanis »

Nie rozumiem tego sposobu i nie wiem jak to zrobić :/
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Zbiory rozgraniczone

Post autor: bartek118 »

Więc po kolei - czy zgodzisz się z tym, że z Twoich rachunków już wynika inkluzja
\(\displaystyle{ \mathrm{bd} (A \cup B) \subset \mathrm{bd} (A) \cup \mathrm{bd} (B)}\)
?
insanis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 147
Rejestracja: 26 paź 2014, o 13:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 33 razy

Zbiory rozgraniczone

Post autor: insanis »

Teraz tak:

\(\displaystyle{ \mathrm{bd} \left( A \cup B\right) = \overline{A \cup B} ~ \cap ~ \overline {\left( A \cup B\right) '} = \left( \overline{ A } \cup \overline {B}\right) ~ \cap ~ \overline{A' \cap B'} = \left( \overline A \cap \overline{A' \cap B'}\right) ~ \cup ~ \left( \overline {B} \cap \overline{A' \cap B'}\right) \subset \left( \overline {A} \cap \overline {A'} \cap \overline{B'} \right) \cup ( \overline{B} \cap \overline {A'}
\cap \overline {B'}) = ( \mathrm{bd} \, A \cap \overline{B'}) \cup (\mathrm{bd} \, B \cap \overline{A'}) \subset \mathrm{bd} \, A \cup \mathrm{bd} \, B}\)
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Re: Zbiory rozgraniczone

Post autor: bartek118 »

OK. W takim razie - teraz na odwrót. Trzeba pokazać, że
\(\displaystyle{ x \in \mathrm{bd} A \cup \mathrm{bd} B \Rightarrow x \in \mathrm{bd} (A \cup B).}\)
Więc równoważnie wystarczy uzasadnić, że
\(\displaystyle{ x \not\in \mathrm{bd} (A \cup B) \Rightarrow x \not\in \mathrm{bd} A \cup \mathrm{bd} B \Rightarrow x.}\)
Teraz rozpatrz osobno przypadki, o których pisałem wyżej.
insanis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 147
Rejestracja: 26 paź 2014, o 13:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 33 razy

Re: Zbiory rozgraniczone

Post autor: insanis »

Mógłbyś pokazać rachunki dla chociaż jednego przypadku? Bo próbuję to wykazać wprost, niewprost i nic nie wychodzi.

\(\displaystyle{ x \notin bd(A \cup B) \Rightarrow x \notin (bdA \cup bdB)}\)

\(\displaystyle{ 1. x \notin bd(A \cup B)}\). założenie
\(\displaystyle{ 2. x \notin \left( A \cap \overline{B}\right)}\). rozgraniczoność
\(\displaystyle{ 3. x \notin \left( \overline{A} \cap B\right)}\). rozgraniczoność
\(\displaystyle{ 4. x \in (bdA \cup bdB)}\). zał. nie wprost
\(\displaystyle{ 5. ((x \in \overline{A}) \wedge (x \in \overline{A'})) \vee ((x \in \overline{B}) \wedge (x \in \overline{B'}))}\). z 4
\(\displaystyle{ 6. (x \notin A) \vee (x \notin \overline{B})}\) z 2
\(\displaystyle{ 7. (x \notin \overline{A}) \vee (x \notin B)}\) z 3
\(\displaystyle{ 8. x \notin ( (A \cup B) \cap \left( A \cup B\right)' )}\) z 1
\(\displaystyle{ 9. (x \notin (A \cup B)) \vee (x \notin\left( A \cup B\right)' )}\) z 8
\(\displaystyle{ 9.1 (x \notin (A \cup B))}\) Z 8, zał. dodatkowe (PIERWSZY PRZYPADEK)
\(\displaystyle{ ?}\)
\(\displaystyle{ ?}\)
\(\displaystyle{ ?}\)
\(\displaystyle{ 10.1 (x \notin\left( A \cup B\right)' )}\) Z 8, zał. dodatkowe (DRUGI PRZYPADEK)
\(\displaystyle{ ?}\)
\(\displaystyle{ ?}\)
\(\displaystyle{ ?}\)
insanis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 147
Rejestracja: 26 paź 2014, o 13:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 33 razy

Re: Zbiory rozgraniczone

Post autor: insanis »

Ktoś ma jakiś pomysł jak to pokazać ?
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Re: Zbiory rozgraniczone

Post autor: bartek118 »

No to rozpiszę ten trudniejszy przypadek.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ x \not\in \overline{X \setminus (A \cup B)}}\). Wówczas \(\displaystyle{ x \in X \setminus \left( \overline{X \setminus (A \cup B)} \right) = \mathrm{int}\, (A \cup B)}\). Bez straty ogólności niech \(\displaystyle{ x \in A}\) (jeśli \(\displaystyle{ x \in B}\), to rozumowanie jest analogiczne). Z rozgraniczoności mamy wówczas, że \(\displaystyle{ x \not\in \overline{B}}\), czyli \(\displaystyle{ x \in X \setminus \overline{B}}\). W szczególności zatem \(\displaystyle{ x \not\in \partial B}\). Ponadto \(\displaystyle{ x \in \mathrm{int}\, (A \cup B) \cap ( X \setminus \overline{B}) \subset A}\), zaś \(\displaystyle{ \mathrm{int}\, (A \cup B) \cap ( X \setminus \overline{B})}\) jest otwarty, czyli \(\displaystyle{ x \not\in \partial A}\). Stąd \(\displaystyle{ x \not\in \partial A \cup \partial B}\).
insanis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 147
Rejestracja: 26 paź 2014, o 13:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 33 razy

Re: Zbiory rozgraniczone

Post autor: insanis »

Czy ten drugi przypadek można rozpisać następująco?

\(\displaystyle{ x \notin \overline{A \cup B}}\)
Z własności domknięcia mamy \(\displaystyle{ x \notin \overline{A} \cup \overline{B}}\)

Zauważamy, że \(\displaystyle{ \overline{A} \cap \overline{A'} \subset \overline{A}}\)
oraz \(\displaystyle{ \overline{B} \cap \overline{B'} \subset \overline{B}}\)

Więc \(\displaystyle{ x \notin ((\overline{A} \cap \overline{A'}) \cup (\overline{B} \cap \overline{B'}) ) \Leftrightarrow x \notin bdA \cup bdB}\)
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Re: Zbiory rozgraniczone

Post autor: bartek118 »

Tak.
ODPOWIEDZ