Granica ciągu a metryka

[varth]

Możliwe jest aby ciąg \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) był zbieżny do \(\displaystyle{ C}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ [0,C] (C>0)}\) przy odpowiedniej metryce? Jeśli tak, to jaka to metryka?

[Takahashi]

Tak, jest to obraz euklidesowej przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ [0,C]}\) względem nieciągłego odwzorowania, które zamienia punkty \(\displaystyle{ 0}\), \(\displaystyle{ C}\) miejscami.

[varth]

I wtedy \(\displaystyle{ d(x,y)=d_e(x,y)}\) dla \(\displaystyle{ x,y}\) różnych od \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ C}\), \(\displaystyle{ d(0,x)=d_e(C,x)}\), \(\displaystyle{ d(C,x)=d_e(0,x)}\), \(\displaystyle{ d(0,C)=C}\), gdzie \(\displaystyle{ d_e}\) to metryka euklidesowa?

[Dasio11]

Tak.

[leg14]

A nie chodziło o to, żeby topologia się nie zmieniła? Inaczej pytanie nie ma sensu, bo z ,,przestrzeni" zostaje zbiór, czyli de facto jedynie jego moc.

[Takahashi]

Dwie metryki uznajemy za równoważne, wtedy i tylko wtedy jeśli wprowadzają tę samą metrykę - zatem podejrzewam, że nie.

[a4karo]

Dwie metryki uznajemy za równoważne, wtedy i tylko wtedy jeśli wprowadzają tę samą metrykę - zatem podejrzewam, że nie.

To brzmi jak masło maślane

[Premislav]

Chodziło pewnie o tę samą topologię.<Sherlock>

[Takahashi]

Topologię, czyli zbieżność - dokładnie tak.