Przestrzeń z dwoma metrykami

[Takahashi]

Niech \(\displaystyle{ (X, \tau)}\) będzie przestrzenią topologiczną, której rodzina zbiorów otwartych pochodzi od dwóch różnych metryk: \(\displaystyle{ d_1, d_2}\). Czy możliwe jest, by metryka \(\displaystyle{ d_1}\) spełniała nierówność \(\displaystyle{ d(x,z) \le \max\{d(x,y), d(y,z)\}}\) dla wszystkich punktów \(\displaystyle{ x, y, z \in X}\), natomiast metryka \(\displaystyle{ d_2}\) nie?

[Dualny91]

Oczywiście. Wystarczą rozważyć trzyelementowy zbiór \(\displaystyle{ X}\).

[Takahashi]

Jak zmienia się odpowiedź, kiedy metryka pochodzi od normy na \(\displaystyle{ X}\), które jest jednocześnie ciałem?

[Dualny91]

To czy \(\displaystyle{ X}\) jest ciałem nie ma znaczenia. Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie p-nią unormowaną. W przestrzeni ultrametrycznej (a więc z tą nierównością z Twojego pierwszego postu) kule otwarte są również zbiorami domkniętymi. Czy w przestrzeni unormowanej tak jest?

[Takahashi]

Wszystkie ciała liczb wymiernych z nietrywialną normą są ze sobą izomorficzne, więc co mają do tego kule?

[Dualny91]

Wybacz, ale: 1) ja znam jedno ciało liczb wymiernych; 2) w ciele liczb wymiernych nie ma czegoś takiego jak trywialna norma, jeśli to ma oznaczać normę stale równą \(\displaystyle{ 0}\) - wystarczy spojrzeć na definicję normy; 3) przeczytaj jeszcze raz uważnie, to co napisałem - struktura topologiczna przestrzeni unormowanej ma pewne własności, z których sugeruję Ci skorzystać. Poza tym jedyne sensowne przestrzenie unormowane jakie ja znam są rozważane nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) lub \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\), co automatycznie redukuje sensowność rozważania ciała liczb wymiernych jako przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\).