1. Które z aksjomatów oddzielania (T1-T4) i przeliczalności (AI - AII) spełnia przestrzeń topologiczna antydyskretna (banalna) \(\displaystyle{ X}\).
Zakładamy, że \(\displaystyle{ \# X \geqslant 2}\)
2. Udowodnij, że przestrzeń metryczna dyskretna spełnia aksjomat oddzielnia T4
3. Który z ciągów jest ciągiem Cauchy'ego
a) \(\displaystyle{ a_{n} = (-1)^n}\)
b) \(\displaystyle{ b_{n}= \frac{n+1}{n^2+1}}\)
c) \(\displaystyle{ c_{n} = \frac{n^2 + 1}{n+1}}\)
d) \(\displaystyle{ d_{n} = (\frac{n+1}{n})^{n}}\)
4. Który ze zbiorów jest otwarty w \(\displaystyle{ \RR}\):
\(\displaystyle{ \ZZ}\)
\(\displaystyle{ \RR-\ZZ}\)
\(\displaystyle{ \QQ}\)
\(\displaystyle{ \RR-\QQ}\)
5. Który z powyższych zbiorów jest ośrodkiem w \(\displaystyle{ \RR}\)?
6. Wykazać że suma i iloczyn dwóch dowolnych ciągów Cauchy'ego w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR}\) są ciągami Cauchy'ego
7. Wykazać, że przestrzeń \(\displaystyle{ \RR}\) z naturalną topologią spełnia I i II aksjomat przeliczalności tj wskazać przeliczalną bazę topologii oraz przeliczalną bazę otoczeń dowolnie ustalonego punktu.
8. Które z odwzorowań \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR}\) jest homeomorfizmem
\(\displaystyle{ f_{1}(x)=e^x}\)
\(\displaystyle{ f_{2}(x)=x+e^x}\)
\(\displaystyle{ f_{3}(x)=x\cdot e^x}\)
9. Które z odwzrowań \(\displaystyle{ g: \RR \rightarrow \RR}\) jest izometrią:
\(\displaystyle{ g_{1}=2x}\)
\(\displaystyle{ g_{2}=x^2}\)
\(\displaystyle{ g_{3}=x+2}\)
10. Które z odwzorowań \(\displaystyle{ h: \RR\to\RR}\) jest ciągłe?
\(\displaystyle{ h_1(x)= sgn{x}}\)
\(\displaystyle{ h_2(x)= x + sgn{x}}\)
\(\displaystyle{ h_3(x)= x\cdot sgn{x}}\)
gdzie \(\displaystyle{ sgn{x}=\left\{\begin{array}{l}1 \ dla \ x > 0\\0 \ dla \ x=0\\-1 \ dla \ x<0\end{array}\right.}\)
Wszystkie zadania z uzasadnieniem
Dziękuję z góry za pomoc.
