zbiór skończony i nigdzie gęsty dowód

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
dlama135
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 26 maja 2017, o 18:41
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz

zbiór skończony i nigdzie gęsty dowód

Post autor: dlama135 »

Proszę o dowód: Zbiór skończony jest zbiorem nigdzie gęstym
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: zbiór skończony i nigdzie gęsty dowód

Post autor: a4karo »

Nie da się tego udowodnić, bo bez dodatkowych założeń nie musi to być prawdą.
dlama135
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 26 maja 2017, o 18:41
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz

Re: zbiór skończony i nigdzie gęsty dowód

Post autor: dlama135 »

Proszę o przykład kiedy to nie zachodzi
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Re: zbiór skończony i nigdzie gęsty dowód

Post autor: timon92 »

to nie zachodzi np. dla dowolnej przestrzeni topologicznej z topologią dyskretną
dlama135
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 26 maja 2017, o 18:41
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz

zbiór skończony i nigdzie gęsty dowód

Post autor: dlama135 »

Faktycznie! Bardzo przepraszam ale nie napisałam ze chodzi o przestrzeń z metryką euklidesową.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: zbiór skończony i nigdzie gęsty dowód

Post autor: Dasio11 »

A dokładniej o \(\displaystyle{ \RR}\) ?

Niech \(\displaystyle{ F}\) będzie zbiorem skończonym. Po pierwsze musisz pokazać, że jest on domknięty, a po drugie, że ma puste wnętrze.
dlama135
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 26 maja 2017, o 18:41
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz

zbiór skończony i nigdzie gęsty dowód

Post autor: dlama135 »

A można prosić o pomoc jak zacząć ? Jak pokazać ze jest domknięty ?
Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Re: zbiór skończony i nigdzie gęsty dowód

Post autor: leg14 »

Pokaz, ze w przestrzeni Hausdorff'a lazdy punkt jest domkniety.
dlama135
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 26 maja 2017, o 18:41
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz

zbiór skończony i nigdzie gęsty dowód

Post autor: dlama135 »

A można jakoś inaczej bez wprowadzania przestrzeni hausdorffa
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: zbiór skończony i nigdzie gęsty dowód

Post autor: Dasio11 »

Po prostu pokaż, że każdy zbiór jednoelementowy jest domknięty (na przykład pokazując, że dopełnienie jest otwarte), a następnie skorzystaj z faktu, że skończona suma zbiorów domkniętych jest domknięta. Stąd zbiór skończony jest domknięty jako skończona suma zbiorów jednopunktowych.
Dualny91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 414
Rejestracja: 11 paź 2015, o 15:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 98 razy

Re: zbiór skończony i nigdzie gęsty dowód

Post autor: Dualny91 »

Od kiedy zbiór nigdziegęsty musi być domknięty?
Należy skorzystać wprost z definicji nigdziegęstości. Niech \(\displaystyle{ F}\) będzie podzbiorem skończonym w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Niech \(\displaystyle{ U}\) będzie niepusty, otwarty w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Zatem \(\displaystyle{ (a,b) \subset U}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a<b}\) rzeczywistych. Jeśli 1) \(\displaystyle{ F \cap (a,b)
\neq \emptyset}\)
, to przedział \(\displaystyle{ (a, (a,b) \cap \min F)}\) jest otwarty, niepusty i zawarty w \(\displaystyle{ U}\); 2) jeśli \(\displaystyle{ F \cap (a,b)=\emptyset}\), to wystarczy rozważyć przedział \(\displaystyle{ (a,b)}\).
Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

zbiór skończony i nigdzie gęsty dowód

Post autor: leg14 »

Od kiedy zbiór nigdziegęsty musi być domknięty?
Od nigdy, ale w tym wypadku taka taktyka da oczekiwane rezultaty.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: zbiór skończony i nigdzie gęsty dowód

Post autor: Dasio11 »

Dualny91 pisze:Od kiedy zbiór nigdziegęsty musi być domknięty?
Zbiór jest nigdziegęsty, jeśli wnętrze domknięcia jest puste; skoro zbiory skończone są domknięte, to teraz zostaje sprawdzić, że mają puste wnętrze...
ODPOWIEDZ